Номер 11, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

11. Что означает определенный интеграл от непрерывной и неотрицательной функции на отрезке $[a; b]$:

А) площадь криволинейной функции;

В) общий вид первообразной;

С) производную функции;

D) объем тела вращения?

Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{a}^{b} f(x) dx$ от непрерывной и неотрицательной функции $f(x)$ (то есть $f(x) \geq 0$) на отрезке $[a; b]$ — это площадь криволинейной трапеции. Криволинейная трапеция — это фигура в декартовой системе координат, ограниченная графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс (осью Ox) и вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$.

Проанализируем предложенные варианты:

А) площадь криволинейной функции;

Это верный ответ. Хотя формулировка "площадь криволинейной функции" не является строго математической (более корректно — "площадь криволинейной трапеции"), она наиболее точно отражает геометрический смысл определенного интеграла в данном контексте.

В) общий вид первообразной;

Это неверно. Общий вид первообразной, $F(x) + C$, где $F'(x) = f(x)$, является результатом вычисления неопределенного интеграла $\int f(x) dx$, который представляет собой семейство функций. Определенный интеграл $\int_{a}^{b} f(x) dx$ — это конкретное число.

С) производную функции;

Это неверно. Интегрирование и дифференцирование (нахождение производной) являются взаимно обратными операциями. Определенный интеграл — это не производная.

D) объем тела вращения?

Это неверно. Объем тела вращения вычисляется с помощью определенного интеграла, но по другой формуле, например, $V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx$ для вращения вокруг оси Ox. Это является приложением определенного интеграла, а не его основным геометрическим определением.

Ответ: А)