Номер 3.12, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.12. 1) $ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int_0^1 4x^3 dx; $

2) $ \int_0^1 5x^4 dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx. $

1) Требуется проверить справедливость равенства: $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int_0^1 4x^3 dx$.

Для этого вычислим значение каждого из определенных интегралов по отдельности, используя формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Вычислим интеграл в левой части:

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$.

Первообразной для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ является функция $F(x) = \tan x$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = [\tan x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0) = 1 - 0 = 1$.

Теперь вычислим интеграл в правой части:

$\int_0^1 4x^3 dx$.

Первообразной для подынтегральной функции $g(x) = 4x^3$ является функция $G(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_0^1 4x^3 dx = [x^4]_0^1 = 1^4 - 0^4 = 1 - 0 = 1$.

Поскольку оба интеграла равны 1, то равенство $1 = 1$ является верным.

Ответ: Равенство верно.

2) Требуется проверить справедливость равенства: $\int_0^1 5x^4 dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx$.

Аналогично первому пункту, вычислим оба интеграла.

Вычислим интеграл в левой части:

$\int_0^1 5x^4 dx$.

Первообразной для подынтегральной функции $f(x) = 5x^4$ является функция $F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_0^1 5x^4 dx = [x^5]_0^1 = 1^5 - 0^5 = 1 - 0 = 1$.

Теперь вычислим интеграл в правой части:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx$.

Первообразной для подынтегральной функции $g(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ является функция $G(x) = -\cot x$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx = [-\cot x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cot(\frac{\pi}{2})) - (-\cot(\frac{\pi}{4}))$.

Зная, что $\cot(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$-0 - (-1) = 0 + 1 = 1$.

Поскольку оба интеграла равны 1, то равенство $1 = 1$ является верным.

Ответ: Равенство верно.