Номер 3.17, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.17. 1) $\int_{-1}^{0} \frac{1 - x^2}{1 - x} dx;$

2) $\int_{0}^{1} \frac{16 - x^4}{2 - x} dx;$

3) $\int_{1}^{2} \frac{1 - 8x^3}{1 - 2x} dx;$

4) $\int_{0}^{2} \frac{x^3 + 2x^2 + 4x + 3}{x + 1} dx.$

1) Для вычисления интеграла $\int_{-1}^{0} \frac{1-x^2}{1-x} dx$ сначала упростим подынтегральное выражение. Числитель $1-x^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $1-x^2 = (1-x)(1+x)$.

Подставим это в интеграл и сократим дробь. Сокращение возможно, так как на отрезке интегрирования $[-1, 0]$ знаменатель $1-x$ не обращается в ноль.

$\int_{-1}^{0} \frac{(1-x)(1+x)}{1-x} dx = \int_{-1}^{0} (1+x) dx$.

Теперь найдем первообразную и применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int (1+x) dx = x + \frac{x^2}{2}$.

$\int_{-1}^{0} (1+x) dx = \left(x + \frac{x^2}{2}\right) \Big|_{-1}^{0} = (0 + \frac{0^2}{2}) - (-1 + \frac{(-1)^2}{2}) = 0 - (-1 + \frac{1}{2}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{1} \frac{16-x^4}{2-x} dx$ упростим подынтегральное выражение. Разложим числитель $16-x^4$ на множители как разность квадратов: $16-x^4 = (4-x^2)(4+x^2)$. Множитель $4-x^2$ также является разностью квадратов: $4-x^2 = (2-x)(2+x)$.

Таким образом, $16-x^4 = (2-x)(2+x)(4+x^2)$.

Сократим дробь в подынтегральном выражении (это возможно, так как на отрезке $[0, 1]$ знаменатель $2-x$ не равен нулю):

$\frac{(2-x)(2+x)(4+x^2)}{2-x} = (2+x)(4+x^2) = 8 + 2x^2 + 4x + x^3 = x^3 + 2x^2 + 4x + 8$.

Теперь вычислим интеграл от полученного многочлена:

$\int_{0}^{1} (x^3 + 2x^2 + 4x + 8) dx = \left(\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + 8x\right) \Big|_{0}^{1} = \left(\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + 2x^2 + 8x\right) \Big|_{0}^{1}$.

Подставляем пределы интегрирования:

$(\frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1) - 0 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 2 + 8 = \frac{3+8}{12} + 10 = \frac{11}{12} + 10 = \frac{131}{12}$.

Ответ: $\frac{131}{12}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{1}^{2} \frac{1-8x^3}{1-2x} dx$. Упростим подынтегральное выражение. Числитель $1-8x^3$ представляет собой разность кубов: $1^3 - (2x)^3$. Используем формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$1-8x^3 = (1-2x)(1^2 + 1 \cdot 2x + (2x)^2) = (1-2x)(1+2x+4x^2)$.

Сократим дробь, так как на отрезке $[1, 2]$ знаменатель $1-2x$ не равен нулю:

$\frac{(1-2x)(1+2x+4x^2)}{1-2x} = 1+2x+4x^2$.

Теперь интегрируем полученный многочлен:

$\int_{1}^{2} (4x^2+2x+1) dx = \left(\frac{4x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + x\right) \Big|_{1}^{2} = \left(\frac{4x^3}{3} + x^2 + x\right) \Big|_{1}^{2}$.

Подставляем пределы:

$(\frac{4 \cdot 2^3}{3} + 2^2 + 2) - (\frac{4 \cdot 1^3}{3} + 1^2 + 1) = (\frac{32}{3} + 4 + 2) - (\frac{4}{3} + 1 + 1) = (\frac{32}{3} + 6) - (\frac{4}{3} + 2) = \frac{32-4}{3} + 6-2 = \frac{28}{3} + 4 = \frac{28+12}{3} = \frac{40}{3}$.

Ответ: $\frac{40}{3}$.

4) Найдем значение интеграла $\int_{0}^{2} \frac{x^3 + 2x^2 + 4x + 3}{x+1} dx$. Степень числителя больше степени знаменателя, поэтому можно выполнить деление многочленов столбиком или сгруппировать слагаемые в числителе.

Выполним деление: $(x^3 + 2x^2 + 4x + 3) \div (x+1)$.

$x^3 + 2x^2 + 4x + 3 = x^2(x+1) + x^2 + 4x + 3 = x^2(x+1) + x(x+1) + 3x + 3 = x^2(x+1) + x(x+1) + 3(x+1) = (x+1)(x^2+x+3)$.

Таким образом, подынтегральная функция упрощается до $x^2+x+3$, так как на отрезке $[0, 2]$ знаменатель $x+1$ не равен нулю.

Вычислим интеграл:

$\int_{0}^{2} (x^2 + x + 3) dx = \left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 3x\right) \Big|_{0}^{2}$.

Подставляем пределы интегрирования:

$(\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 3 \cdot 2) - 0 = \frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 6 = \frac{8}{3} + 2 + 6 = \frac{8}{3} + 8 = \frac{8+24}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$.