Номер 3.6, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.6. 1) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + 1)dx;$

2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 (1 - \sin x)dx;$

3) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^0 (3 - 5\cos x)dx;$

4) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (4\sin x + 3)dx.$

1)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + 1)dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \cos x + 1$.

$F(x) = \int (\cos x + 1)dx = \int \cos x dx + \int 1 dx = \sin x + x$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + 1)dx = [\sin x + x] \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2}\right) - (\sin(0) + 0)$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$\left(1 + \frac{\pi}{2}\right) - (0 + 0) = 1 + \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $1 + \frac{\pi}{2}$.

2)

Вычислим определенный интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (1 - \sin x)dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 1 - \sin x$.

$F(x) = \int (1 - \sin x)dx = \int 1 dx - \int \sin x dx = x - (-\cos x) = x + \cos x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (1 - \sin x)dx = [x + \cos x] \Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = (0 + \cos(0)) - \left(-\frac{\pi}{2} + \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$.

Так как $\cos(0) = 1$ и $\cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, то:

$(0 + 1) - \left(-\frac{\pi}{2} + 0\right) = 1 - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1 + \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $1 + \frac{\pi}{2}$.

3)

Вычислим определенный интеграл $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} (3 - 5\cos x)dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 3 - 5\cos x$.

$F(x) = \int (3 - 5\cos x)dx = \int 3 dx - 5\int \cos x dx = 3x - 5\sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} (3 - 5\cos x)dx = [3x - 5\sin x] \Big|_{-\frac{\pi}{4}}^{0} = (3 \cdot 0 - 5\sin(0)) - \left(3\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 5\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$.

Зная, что $\sin(0) = 0$ и $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$(0 - 0) - \left(-\frac{3\pi}{4} - 5\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = 0 - \left(-\frac{3\pi}{4} + \frac{5\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4} - \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4} - \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

4)

Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (4\sin x + 3)dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 4\sin x + 3$.

$F(x) = \int (4\sin x + 3)dx = 4\int \sin x dx + \int 3 dx = 4(-\cos x) + 3x = -4\cos x + 3x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (4\sin x + 3)dx = [-4\cos x + 3x] \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left(-4\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 3 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - (-4\cos(0) + 3 \cdot 0)$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(0) = 1$, то:

$\left(-4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\pi}{4}\right) - (-4 \cdot 1 + 0) = \left(-2\sqrt{2} + \frac{3\pi}{4}\right) - (-4) = -2\sqrt{2} + \frac{3\pi}{4} + 4$.

Ответ: $4 - 2\sqrt{2} + \frac{3\pi}{4}$.