Самостоятельно, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Справедливость равенства (4) докажите самостоятельно.

Поскольку само равенство (4) в задании не приведено, докажем одно из фундаментальных равенств математического анализа, которое часто встречается в учебниках под этим номером — правило дифференцирования частного.

Требуется доказать, что для двух дифференцируемых функций $u(x)$ и $v(x)$, где $v(x) \neq 0$, производная их частного находится по формуле:

$ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $

Для доказательства воспользуемся определением производной. Пусть $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$.

По определению, производная $f'(x)$ равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента:

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} $

Приведем дроби в числителе к общему знаменателю $v(x + \Delta x)v(x)$:

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x + \Delta x)}{\Delta x \cdot v(x + \Delta x)v(x)} $

Чтобы в дальнейшем выделить производные функций $u(x)$ и $v(x)$, применим искусственный прием: прибавим и вычтем в числителе слагаемое $u(x)v(x)$. Это не изменит значение выражения.

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x) + u(x)v(x) - u(x)v(x + \Delta x)}{\Delta x \cdot v(x + \Delta x)v(x)} $

Теперь сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общие множители за скобки:

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[u(x + \Delta x) - u(x)]v(x) - u(x)[v(x + \Delta x) - v(x)]}{\Delta x \cdot v(x + \Delta x)v(x)} $

Разделим числитель почленно на знаменатель и воспользуемся свойством предела суммы (разности):

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot \frac{v(x)}{v(x+\Delta x)v(x)} \right) - \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} \cdot \frac{u(x)}{v(x+\Delta x)v(x)} \right) $

По определению производной, мы знаем, что:

$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} = u'(x) $

$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} = v'(x) $

Так как функция $v(x)$ дифференцируема, она также и непрерывна, а значит $\lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) = v(x)$.

Теперь мы можем вычислить пределы оставшихся множителей:

$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x)}{v(x+\Delta x)v(x)} = \frac{v(x)}{v(x) \cdot v(x)} = \frac{1}{v(x)} $

$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x)}{v(x+\Delta x)v(x)} = \frac{u(x)}{v(x) \cdot v(x)} = \frac{u(x)}{[v(x)]^2} $

Подставим все найденные пределы в выражение для $f'(x)$:

$ f'(x) = u'(x) \cdot \frac{v(x)}{[v(x)]^2} - v'(x) \cdot \frac{u(x)}{[v(x)]^2} $

Объединим дроби:

$ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $

Таким образом, справедливость равенства доказана.

Ответ: Справедливость равенства (4), под которым мы предположили правило дифференцирования частного $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $, доказана с использованием основного определения производной как предела отношения приращений и стандартных алгебраических преобразований.