Номер 2.9, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Вычислите площадь фигуры, ограниченной на отрезках $[a; b]$ и $[b; c]$, соответственно, графиками функций $f(x)$ и $g(x)$ и осью $Ox$ (2.9–2.10):

2.9. 1) $f(x) = -x^2 + 2x$, $[0; 1]$ и $g(x) = 1.5 - 0.5x$, $[1; 3];$

2) $f(x) = x$, $[0; 1]$ и $g(x) = x^2 - 4x + 4$, $[1; 2].$

1)

Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры, которая составлена из двух частей. Первая часть — это фигура, ограниченная графиком функции $f(x) = -x^2 + 2x$ и осью $Ox$ на отрезке $[0; 1]$. Вторая часть — фигура, ограниченная графиком функции $g(x) = 1,5 - 0,5x$ и осью $Ox$ на отрезке $[1; 3]$. Общая площадь $S$ будет равна сумме площадей этих двух частей: $S = S_1 + S_2$.

Сначала вычислим площадь первой части, $S_1$. Для этого проверим, что функция $f(x) = -x^2 + 2x$ неотрицательна на отрезке $[0; 1]$. Корни этой параболы — $x=0$ и $x=2$. Ветви направлены вниз, значит, на интервале $(0; 2)$ функция положительна. Отрезок $[0; 1]$ входит в этот промежуток, следовательно, $f(x) \ge 0$ на $[0; 1]$. Площадь вычисляется как определенный интеграл:

$S_1 = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x) \,dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = -\frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + x^2$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S_1 = F(1) - F(0) = \left(-\frac{1^3}{3} + 1^2\right) - \left(-\frac{0^3}{3} + 0^2\right) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$

Теперь вычислим площадь второй части, $S_2$. Проверим знак функции $g(x) = 1,5 - 0,5x$ на отрезке $[1; 3]$. Это линейная функция, которая обращается в ноль при $1,5 - 0,5x = 0$, то есть при $x=3$. На отрезке $[1; 3]$ функция $g(x)$ неотрицательна. Площадь вычисляется как интеграл:

$S_2 = \int_{1}^{3} (1,5 - 0,5x) \,dx$

Находим первообразную:

$G(x) = 1,5x - 0,5 \cdot \frac{x^2}{2} = 1,5x - 0,25x^2$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S_2 = G(3) - G(1) = (1,5 \cdot 3 - 0,25 \cdot 3^2) - (1,5 \cdot 1 - 0,25 \cdot 1^2) = (4,5 - 2,25) - (1,5 - 0,25) = 2,25 - 1,25 = 1$

Общая площадь фигуры равна сумме площадей:

$S = S_1 + S_2 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$

2)

В этом случае общая площадь $S$ также является суммой двух площадей: $S_1$, ограниченной графиком $f(x) = x$ и осью $Ox$ на отрезке $[0; 1]$, и $S_2$, ограниченной графиком $g(x) = x^2 - 4x + 4$ и осью $Ox$ на отрезке $[1; 2]$.

Вычислим площадь $S_1$. Функция $f(x) = x$ неотрицательна на отрезке $[0; 1]$.

$S_1 = \int_{0}^{1} x \,dx$

Первообразная для $f(x)=x$ есть $F(x) = \frac{x^2}{2}$.

$S_1 = F(1) - F(0) = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$

Вычислим площадь $S_2$. Функция $g(x) = x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом: $g(x) = (x-2)^2$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, $g(x) \ge 0$ для всех $x$, в том числе и на отрезке $[1; 2]$.

$S_2 = \int_{1}^{2} (x-2)^2 \,dx = \int_{1}^{2} (x^2 - 4x + 4) \,dx$

Находим первообразную для $g(x)$:

$G(x) = \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S_2 = G(2) - G(1) = \left(\frac{2^3}{3} - 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2\right) - \left(\frac{1^3}{3} - 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1\right) = \left(\frac{8}{3} - 8 + 8\right) - \left(\frac{1}{3} - 2 + 4\right) = \frac{8}{3} - \left(\frac{1}{3} + 2\right) = \frac{8}{3} - \frac{7}{3} = \frac{1}{3}$

Общая площадь фигуры равна сумме:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$