Номер 2.2, страница 22 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2.2. 1) $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$;

2) $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{3}$, $x = \pi$.

1)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$, необходимо найти определенный интеграл. Данная фигура является криволинейной трапецией.

На отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ функция $y = \cos x$ принимает неотрицательные значения, то есть ее график расположен выше оси $Ox$. Поэтому площадь $S$ можно вычислить по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данном случае $f(x) = \cos x$, $a = -\frac{\pi}{4}$, $b = \frac{\pi}{4}$.

$S = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos x \,dx$

Первообразная для функции $\cos x$ есть $\sin x$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [\sin x]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем значения:

$S = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Ответ: $S = \sqrt{2}$.

2)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \pi$, также используем определенный интеграл.

На отрезке $[\frac{\pi}{3}, \pi]$ функция $y = \sin x$ принимает неотрицательные значения, так как этот отрезок находится в первой и второй координатных четвертях, где синус положителен.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{\pi/3}^{\pi} \sin x \,dx$

Первообразная для функции $\sin x$ есть $-\cos x$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [-\cos x]_{\pi/3}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - \left(-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$

Мы знаем, что $\cos(\pi) = -1$ и $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Подставляем значения:

$S = (-(-1)) - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Ответ: $S = \frac{3}{2}$.