Номер 1.23, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.23. 1) $f(x) = \cos^2x;$

2) $f(x) = \sin^2x;$

3) $f(x) = \cos\frac{x}{4} \sin\frac{\pi}{9} - \sin\frac{x}{4} \cos\frac{\pi}{9};$

4) $f(x) = \sin\frac{x}{5} \cdot \sin\frac{\pi}{10} - \cos\frac{x}{5} \cdot \cos\frac{\pi}{10}.$

1) Чтобы найти основной период функции $f(x) = \cos^2 x$, воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.Применив эту формулу, получим:$f(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$.Основной период функции $\cos(y)$ равен $2\pi$. Для функции вида $g(x) = A\cos(kx+b)+C$ основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.В нашем случае $k=2$, поэтому основной период функции $f(x)$ равен:$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.Сложение с константой $\frac{1}{2}$ и умножение на константу $\frac{1}{2}$ не влияют на период.Ответ: $\pi$.

2) Для нахождения основного периода функции $f(x) = \sin^2 x$ используем формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.Преобразуем функцию:$f(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$.Эта функция, как и в предыдущем примере, основана на $\cos(2x)$. Основной период функции $\cos(y)$ равен $2\pi$. Период функции вида $g(x) = A\cos(kx+b)+C$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.Здесь коэффициент $k=2$, следовательно, основной период равен:$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.Ответ: $\pi$.

3) Для упрощения функции $f(x) = \cos\frac{x}{4} \sin\frac{\pi}{9} - \sin\frac{x}{4} \cos\frac{\pi}{9}$ воспользуемся тригонометрической формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.В нашем выражении поменяны местами синус и косинус первого аргумента с косинусом и синусом второго. Представим его в виде $\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{x}{4} - \cos\frac{\pi}{9}\sin\frac{x}{4}$.Пусть $\alpha = \frac{\pi}{9}$ и $\beta = \frac{x}{4}$. Тогда функция принимает вид:$f(x) = \sin(\frac{\pi}{9} - \frac{x}{4})$.Основной период функции $\sin(y)$ равен $2\pi$. Для функции вида $g(x) = A\sin(kx+b)+C$ основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.В данном случае коэффициент при $x$ равен $k = -\frac{1}{4}$.Следовательно, основной период функции $f(x)$ равен:$T = \frac{2\pi}{|-1/4|} = \frac{2\pi}{1/4} = 8\pi$.Ответ: $8\pi$.

4) Рассмотрим функцию $f(x) = \sin\frac{x}{5} \sin\frac{\pi}{10} - \cos\frac{x}{5} \cos\frac{\pi}{10}$.Это выражение похоже на формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.Вынесем знак минус за скобки, чтобы привести функцию к стандартному виду формулы:$f(x) = -(\cos\frac{x}{5} \cos\frac{\pi}{10} - \sin\frac{x}{5} \sin\frac{\pi}{10})$.Пусть $\alpha = \frac{x}{5}$ и $\beta = \frac{\pi}{10}$. Тогда:$f(x) = -\cos(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{10})$.Основной период функции $\cos(y)$ равен $2\pi$. Для функции вида $g(x) = A\cos(kx+b)+C$ основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{5}$.Таким образом, основной период функции $f(x)$ равен:$T = \frac{2\pi}{|1/5|} = \frac{2\pi}{1/5} = 10\pi$.Ответ: $10\pi$.