Номер 1.17, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите неопределенный интеграл (1.17–1.18):

1.17. 1) $\int (0,75x^2 + \frac{x^9}{9}) dx;$

2) $\int (\frac{x^{-7}}{6} - 1,25x^4) dx;$

3) $\int (\frac{10}{\sqrt{5 + 2x}} - 3x^{-11}) dx;$

4) $\int (15x^{24} - \frac{28}{\sqrt{6 - 7x}}) dx.$

1) Найдем интеграл $\int (0.75x^2 + \frac{x^9}{9})dx$.

Используя свойство линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла), получаем:

$\int (0.75x^2 + \frac{x^9}{9})dx = \int 0.75x^2 dx + \int \frac{x^9}{9} dx = 0.75 \int x^2 dx + \frac{1}{9} \int x^9 dx$.

Теперь применим табличный интеграл для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$0.75 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{1}{9} \cdot \frac{x^{9+1}}{9+1} + C = 0.75 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1}{9} \cdot \frac{x^{10}}{10} + C$.

После упрощения получаем окончательный результат:

$0.25x^3 + \frac{x^{10}}{90} + C$.

Ответ: $0.25x^3 + \frac{x^{10}}{90} + C$.

2) Найдем интеграл $\int (\frac{x^{-7}}{6} - 1.25x^4)dx$.

По свойству линейности интеграла:

$\int (\frac{x^{-7}}{6} - 1.25x^4)dx = \int \frac{x^{-7}}{6} dx - \int 1.25x^4 dx = \frac{1}{6} \int x^{-7} dx - 1.25 \int x^4 dx$.

Используем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\frac{1}{6} \cdot \frac{x^{-7+1}}{-7+1} - 1.25 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{1}{6} \cdot \frac{x^{-6}}{-6} - 1.25 \cdot \frac{x^5}{5} + C$.

Упростим полученное выражение:

$-\frac{x^{-6}}{36} - 0.25x^5 + C$.

Ответ: $-\frac{x^{-6}}{36} - 0.25x^5 + C$.

3) Найдем интеграл $\int (\frac{10}{\sqrt{5+2x}} - 3x^{-11})dx$.

Разобьем интеграл на два, используя свойство линейности:

$\int \frac{10}{\sqrt{5+2x}}dx - \int 3x^{-11}dx = 10 \int (5+2x)^{-1/2}dx - 3 \int x^{-11}dx$.

Первый интеграл находится по формуле $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$, где $a=2, b=5, n=-1/2$.

Второй интеграл является табличным для степенной функции.

$10 \cdot \frac{(5+2x)^{-1/2+1}}{2(-1/2+1)} - 3 \cdot \frac{x^{-11+1}}{-11+1} + C = 10 \cdot \frac{(5+2x)^{1/2}}{2 \cdot 1/2} - 3 \cdot \frac{x^{-10}}{-10} + C$.

После упрощения получаем:

$10 \cdot (5+2x)^{1/2} + \frac{3}{10}x^{-10} + C = 10\sqrt{5+2x} + 0.3x^{-10} + C$.

Ответ: $10\sqrt{5+2x} + 0.3x^{-10} + C$.

4) Найдем интеграл $\int (15x^{24} - \frac{28}{\sqrt{6-7x}})dx$.

Используя свойство линейности, разделим интеграл на два:

$\int 15x^{24}dx - \int \frac{28}{\sqrt{6-7x}}dx = 15 \int x^{24}dx - 28 \int (6-7x)^{-1/2}dx$.

Первый интеграл — степенная функция. Второй интеграл находится по формуле $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$, где $a=-7, b=6, n=-1/2$.

$15 \cdot \frac{x^{24+1}}{24+1} - 28 \cdot \frac{(6-7x)^{-1/2+1}}{-7(-1/2+1)} + C = 15 \cdot \frac{x^{25}}{25} - 28 \cdot \frac{(6-7x)^{1/2}}{-7 \cdot 1/2} + C$.

Упрощаем выражение:

$\frac{3}{5}x^{25} - 28 \cdot \frac{\sqrt{6-7x}}{-7/2} + C = 0.6x^{25} + 28 \cdot \frac{2}{7}\sqrt{6-7x} + C = 0.6x^{25} + 8\sqrt{6-7x} + C$.

Ответ: $0.6x^{25} + 8\sqrt{6-7x} + C$.