Номер 1.14, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Выясните, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке (1.14–1.16):

1.14.1) $F(x) = x\sin x,$ $f(x) = \sin x + x\cos x, x \in R;$
2) $F(x) = x\cos x,$ $f(x) = \cos x - x\sin x, x \in R;$
3) $F(x) = 2\sin 6x,$ $f(x) = 12\cos 6x, x \in R;$
4) $F(x) = -5\cos\frac{x}{5},$ $f(x) = \sin\frac{x}{5}, x \in R;$
5) $F(x) = 2\cos 2x - \sin 4x,$ $f(x) = -4(\sin 2x + \cos 4x), x \in R;$
6) $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x + \frac{1}{4}\cos 8x,$ $f(x) = \cos 3x - 2\sin 8x, x \in R.$

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Чтобы проверить это, для каждого пункта найдем производную функции $F(x)$ и сравним ее с функцией $f(x)$.

1) Даны функции $F(x) = x\sin x$ и $f(x) = \sin x + x\cos x$.

Найдём производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$F'(x) = (x\sin x)' = (x)'\sin x + x(\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x\cos x$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, является.

2) Даны функции $F(x) = x\cos x$ и $f(x) = \cos x - x\sin x$.

Найдём производную функции $F(x)$ по правилу дифференцирования произведения:

$F'(x) = (x\cos x)' = (x)'\cos x + x(\cos x)' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x\sin x$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, является.

3) Даны функции $F(x) = 2\sin 6x$ и $f(x) = 12\cos 6x$.

Найдём производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$:

$F'(x) = (2\sin 6x)' = 2 \cdot (\sin 6x)' = 2 \cdot \cos(6x) \cdot (6x)' = 2 \cdot \cos(6x) \cdot 6 = 12\cos 6x$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, является.

4) Даны функции $F(x) = -5\cos\frac{x}{5}$ и $f(x) = \sin\frac{x}{5}$.

Найдём производную функции $F(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (-5\cos\frac{x}{5})' = -5 \cdot (-\sin\frac{x}{5}) \cdot (\frac{x}{5})' = -5 \cdot (-\sin\frac{x}{5}) \cdot \frac{1}{5} = \sin\frac{x}{5}$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, является.

5) Даны функции $F(x) = 2\cos 2x - \sin 4x$ и $f(x) = -4(\sin 2x + \cos 4x)$.

Найдём производную функции $F(x)$ как производную разности:

$F'(x) = (2\cos 2x - \sin 4x)' = (2\cos 2x)' - (\sin 4x)'$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции к каждому слагаемому:

$(2\cos 2x)' = 2 \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)' = -4\sin 2x$.

$(\sin 4x)' = \cos 4x \cdot (4x)' = 4\cos 4x$.

Таким образом, $F'(x) = -4\sin 2x - 4\cos 4x = -4(\sin 2x + \cos 4x)$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, является.

6) Даны функции $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x + \frac{1}{4}\cos 8x$ и $f(x) = \cos 3x - 2\sin 8x$.

Найдём производную функции $F(x)$ как производную суммы:

$F'(x) = (\frac{1}{3}\sin 3x + \frac{1}{4}\cos 8x)' = (\frac{1}{3}\sin 3x)' + (\frac{1}{4}\cos 8x)'$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции к каждому слагаемому:

$(\frac{1}{3}\sin 3x)' = \frac{1}{3} \cdot \cos 3x \cdot (3x)' = \frac{1}{3} \cdot \cos 3x \cdot 3 = \cos 3x$.

$(\frac{1}{4}\cos 8x)' = \frac{1}{4} \cdot (-\sin 8x) \cdot (8x)' = \frac{1}{4} \cdot (-\sin 8x) \cdot 8 = -2\sin 8x$.

Таким образом, $F'(x) = \cos 3x - 2\sin 8x$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, является.