Номер 1.7, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.7. 1) $f(x) = 3\cos x - 4\sin x$;

2) $f(x) = 5\sin x + 6\cos x$;

3) $f(x) = \frac{2}{\cos^2 x} + 8x^7$;

4) $f(x) = \frac{3}{\sin^2 x} - 9x^8$.

1) Для нахождения первообразной функции $f(x) = 3\cos x - 4\sin x$ необходимо найти ее неопределенный интеграл. Первообразная $F(x)$ находится по формуле $F(x) = \int f(x)dx$.

$F(x) = \int (3\cos x - 4\sin x)dx = \int 3\cos x dx - \int 4\sin x dx = 3\int \cos x dx - 4\int \sin x dx$.

Используя табличные интегралы $\int \cos x dx = \sin x + C$ и $\int \sin x dx = -\cos x + C$, получаем:

$F(x) = 3(\sin x) - 4(-\cos x) + C = 3\sin x + 4\cos x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = 3\sin x + 4\cos x + C$.

2) Для нахождения первообразной функции $f(x) = 5\sin x + 6\cos x$ найдем ее неопределенный интеграл.

$F(x) = \int (5\sin x + 6\cos x)dx = \int 5\sin x dx + \int 6\cos x dx = 5\int \sin x dx + 6\int \cos x dx$.

Используя табличные интегралы, получаем:

$F(x) = 5(-\cos x) + 6(\sin x) + C = 6\sin x - 5\cos x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = 6\sin x - 5\cos x + C$.

3) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{2}{\cos^2 x} + 8x^7$ найдем ее неопределенный интеграл.

$F(x) = \int (\frac{2}{\cos^2 x} + 8x^7)dx = \int \frac{2}{\cos^2 x} dx + \int 8x^7 dx = 2\int \frac{1}{\cos^2 x} dx + 8\int x^7 dx$.

Используя табличные интегралы $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$ и $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = 2\tan x + 8 \cdot \frac{x^{7+1}}{7+1} + C = 2\tan x + 8 \cdot \frac{x^8}{8} + C = 2\tan x + x^8 + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = 2\tan x + x^8 + C$.

4) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{3}{\sin^2 x} - 9x^8$ найдем ее неопределенный интеграл.

$F(x) = \int (\frac{3}{\sin^2 x} - 9x^8)dx = \int \frac{3}{\sin^2 x} dx - \int 9x^8 dx = 3\int \frac{1}{\sin^2 x} dx - 9\int x^8 dx$.

Используя табличные интегралы $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$ и $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = 3(-\cot x) - 9 \cdot \frac{x^{8+1}}{8+1} + C = -3\cot x - 9 \cdot \frac{x^9}{9} + C = -3\cot x - x^9 + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = -3\cot x - x^9 + C$.