Номер 1.6, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.6. 1) $f(x) = 5x^4 - 3x^2;$

2) $f(x) = 4x^3 - 6x^5 + 1;$

3) $f(x) = x^{10} + \frac{13}{12}x^{12};$

4) $f(x) = -x^8 + \frac{15}{14}x^{14}.$

Для нахождения первообразной $F(x)$ для заданной функции $f(x)$ необходимо найти неопределенный интеграл от $f(x)$. Общий вид первообразной включает произвольную постоянную $C$.

Основное правило, которое мы будем использовать, — это правило нахождения первообразной для степенной функции: первообразная для $x^n$ равна $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Также мы будем использовать следующие свойства первообразных:

• Первообразная суммы/разности функций равна сумме/разности их первообразных.
• Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной.

1) $f(x) = 5x^4 - 3x^2$

Найдём первообразную $F(x)$, применив правила для каждого слагаемого:

$F(x) = \int (5x^4 - 3x^2) dx = \int 5x^4 dx - \int 3x^2 dx$

Выносим постоянные множители:

$F(x) = 5 \int x^4 dx - 3 \int x^2 dx$

Применяем формулу для степенной функции:

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C$

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C$

Упрощаем выражение:

$F(x) = x^5 - x^3 + C$

Ответ: $F(x) = x^5 - x^3 + C$

2) $f(x) = 4x^3 - 6x^5 + 1$

Найдём первообразную $F(x)$. Первообразная для константы $1$ равна $x$.

$F(x) = \int (4x^3 - 6x^5 + 1) dx = \int 4x^3 dx - \int 6x^5 dx + \int 1 dx$

Выносим постоянные множители:

$F(x) = 4 \int x^3 dx - 6 \int x^5 dx + \int 1 dx$

Применяем формулу для степенной функции и находим первообразную для константы:

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + x + C$

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 6 \cdot \frac{x^6}{6} + x + C$

Упрощаем выражение:

$F(x) = x^4 - x^6 + x + C$

Ответ: $F(x) = x^4 - x^6 + x + C$

3) $f(x) = x^{10} + \frac{13}{12}x^{12}$

Найдём первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (x^{10} + \frac{13}{12}x^{12}) dx = \int x^{10} dx + \int \frac{13}{12}x^{12} dx$

Выносим постоянный множитель:

$F(x) = \int x^{10} dx + \frac{13}{12} \int x^{12} dx$

Применяем формулу для степенной функции:

$F(x) = \frac{x^{10+1}}{10+1} + \frac{13}{12} \cdot \frac{x^{12+1}}{12+1} + C$

$F(x) = \frac{x^{11}}{11} + \frac{13}{12} \cdot \frac{x^{13}}{13} + C$

Упрощаем выражение, сокращая множитель 13:

$F(x) = \frac{x^{11}}{11} + \frac{1}{12}x^{13} + C$

Ответ: $F(x) = \frac{x^{11}}{11} + \frac{1}{12}x^{13} + C$

4) $f(x) = -x^8 + \frac{15}{14}x^{14}$

Найдём первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (-x^8 + \frac{15}{14}x^{14}) dx = \int -x^8 dx + \int \frac{15}{14}x^{14} dx$

Выносим постоянные множители:

$F(x) = - \int x^8 dx + \frac{15}{14} \int x^{14} dx$

Применяем формулу для степенной функции:

$F(x) = - \frac{x^{8+1}}{8+1} + \frac{15}{14} \cdot \frac{x^{14+1}}{14+1} + C$

$F(x) = - \frac{x^9}{9} + \frac{15}{14} \cdot \frac{x^{15}}{15} + C$

Упрощаем выражение, сокращая множитель 15:

$F(x) = -\frac{x^9}{9} + \frac{1}{14}x^{15} + C$

Ответ: $F(x) = -\frac{x^9}{9} + \frac{1}{14}x^{15} + C$