Номер 1.4, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.4. 1) $F(x) = 3\operatorname{tg}x$, $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$, $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$;

2) $F(x) = 5\operatorname{ctg}x$, $f(x) = -\frac{5}{\sin^2 x}$, $x \in (0; \pi)?$

1) Чтобы проверить, является ли функция $F(x) = 3\tan x$ первообразной для функции $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$ на промежутке $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$.

Функция $F(x)$ определена и дифференцируема на всем заданном интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, так как $\cos x \neq 0$ на этом интервале.

Найдем производную $F'(x)$: $F'(x) = (3\tan x)'$

Используя правило дифференцирования (вынесение константы за знак производной) и формулу производной тангенса $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, получаем:

$F'(x) = 3 \cdot (\tan x)' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{3}{\cos^2 x}$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$ и $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$.

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из интервала $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом интервале.

Ответ: Да, является.

2) Чтобы проверить, является ли функция $F(x) = 5\cot x$ первообразной для функции $f(x) = -\frac{5}{\sin^2 x}$ на промежутке $x \in (0; \pi)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$.

Функция $F(x)$ определена и дифференцируема на всем заданном интервале $(0; \pi)$, так как $\sin x \neq 0$ на этом интервале.

Найдем производную $F'(x)$: $F'(x) = (5\cot x)'$

Используя правило дифференцирования (вынесение константы за знак производной) и формулу производной котангенса $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$, получаем:

$F'(x) = 5 \cdot (\cot x)' = 5 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{5}{\sin^2 x}$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = -\frac{5}{\sin^2 x}$ и $f(x) = -\frac{5}{\sin^2 x}$.

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из интервала $(0; \pi)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом интервале.

Ответ: Да, является.