Страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.1. 1) $F(x) = 2x^2 + x + 1$, $f(x) = 4x + 1, x \in R$;

2) $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + x + 1$, $f(x) = x + 1, x \in R$.

1)

Чтобы определить, является ли функция $F(x) = 2x^2 + x + 1$ первообразной для функции $f(x) = 4x + 1$ на множестве всех действительных чисел ($x \in R$), необходимо найти производную функции $F(x)$ и проверить, равно ли ее значение функции $f(x)$.

Найдем производную функции $F(x)$ по правилам дифференцирования:

$F'(x) = (2x^2 + x + 1)' = (2x^2)' + (x)' + (1)'$

$F'(x) = 2 \cdot 2x^{2-1} + 1 \cdot x^{1-1} + 0 = 4x + 1$

Теперь сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = 4x + 1$

$f(x) = 4x + 1$

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in R$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: да, является.

2)

Аналогично проверим, является ли функция $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + x + 1$ первообразной для функции $f(x) = x + 1$ на множестве всех действительных чисел ($x \in R$). Для этого найдем производную функции $F(x)$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\frac{1}{2}x^2 + x + 1)' = (\frac{1}{2}x^2)' + (x)' + (1)'$

$F'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} + 1 \cdot x^{1-1} + 0 = x + 1$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = x + 1$

$f(x) = x + 1$

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in R$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: да, является.

1.2. 1)
$F(x) = 3\sin x + \frac{2}{x}$, $f(x) = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$, $x \in (-\infty; 0);$

2) $F(x) = 2\cos x - \frac{3}{x}$, $f(x) = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$, $x \in (0; +\infty).$

Чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$. Если $F'(x) = f(x)$ на данном промежутке, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

1) Даны функции $F(x) = 3\sin x + \frac{2}{x}$ и $f(x) = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$ на промежутке $x \in (-\infty; 0)$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (3\sin x + \frac{2}{x})' = (3\sin x)' + (2x^{-1})' = 3\cos x + 2 \cdot (-1)x^{-1-1} = 3\cos x - 2x^{-2} = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$.

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$ и $f(x) = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$.

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из промежутка $(-\infty; 0)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да, является.

2) Даны функции $F(x) = 2\cos x - \frac{3}{x}$ и $f(x) = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$ на промежутке $x \in (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (2\cos x - \frac{3}{x})' = (2\cos x)' - (3x^{-1})' = 2(-\sin x) - 3 \cdot (-1)x^{-1-1} = -2\sin x + 3x^{-2} = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$.

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$ и $f(x) = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$.

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из промежутка $(0; +\infty)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да, является.

1.3. 1) $F(x) = \sqrt{x} + 1,$ $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, x \in (0; +\infty);$

2) $F(x) = 3 - 2\sqrt{x},$ $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}, x \in (0; +\infty).$

1) Чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, нужно найти производную функции $F(x)$. Если производная $F'(x)$ равна $f(x)$ для всех $x$ из этого промежутка, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Даны функции $F(x) = \sqrt{x} + 1$ и $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ на промежутке $x \in (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\sqrt{x} + 1)' = (x^{1/2})' + (1)'$

Используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, получаем:

$F'(x) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 0 = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$, функция $F(x) = \sqrt{x} + 1$ является первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ на этом промежутке.

Ответ: Да, является.

2) Аналогично проверим для функций $F(x) = 3 - 2\sqrt{x}$ и $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ на промежутке $x \in (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (3 - 2\sqrt{x})' = (3)' - (2\sqrt{x})' = (3)' - 2(x^{1/2})'$

Применяем те же правила дифференцирования:

$F'(x) = 0 - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = -x^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$

Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ и $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$, функция $F(x) = 3 - 2\sqrt{x}$ является первообразной для функции $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ на этом промежутке.

Ответ: Да, является.

1.4. 1) $F(x) = 3\operatorname{tg}x$, $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$, $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$;

2) $F(x) = 5\operatorname{ctg}x$, $f(x) = -\frac{5}{\sin^2 x}$, $x \in (0; \pi)?$

1) Чтобы проверить, является ли функция $F(x) = 3\tan x$ первообразной для функции $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$ на промежутке $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$.

Функция $F(x)$ определена и дифференцируема на всем заданном интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, так как $\cos x \neq 0$ на этом интервале.

Найдем производную $F'(x)$: $F'(x) = (3\tan x)'$

Используя правило дифференцирования (вынесение константы за знак производной) и формулу производной тангенса $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, получаем:

$F'(x) = 3 \cdot (\tan x)' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{3}{\cos^2 x}$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$ и $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$.

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из интервала $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом интервале.

Ответ: Да, является.

2) Чтобы проверить, является ли функция $F(x) = 5\cot x$ первообразной для функции $f(x) = -\frac{5}{\sin^2 x}$ на промежутке $x \in (0; \pi)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$.

Функция $F(x)$ определена и дифференцируема на всем заданном интервале $(0; \pi)$, так как $\sin x \neq 0$ на этом интервале.

Найдем производную $F'(x)$: $F'(x) = (5\cot x)'$

Используя правило дифференцирования (вынесение константы за знак производной) и формулу производной котангенса $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$, получаем:

$F'(x) = 5 \cdot (\cot x)' = 5 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{5}{\sin^2 x}$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = -\frac{5}{\sin^2 x}$ и $f(x) = -\frac{5}{\sin^2 x}$.

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из интервала $(0; \pi)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом интервале.

Ответ: Да, является.

Напишите общий вид первообразных для данных функций (1.5–1.7):

1.5. 1) $f(x) = 1 - x;$ 2) $f(x) = 2x - 1;$

3) $f(x) = 3x^2 + 2x - 1;$ 4) $f(x) = 2 - 4x - 3x^2.$

1)

Для нахождения общего вида первообразной функции $f(x) = 1 - x$ необходимо найти ее неопределенный интеграл. Первообразная функции $F(x)$ — это такая функция, производная которой равна исходной функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Общий вид первообразных находится по формуле: $F(x) = \int f(x) dx$.

Применим правила интегрирования:

1. Интеграл от разности функций равен разности интегралов: $\int (g(x) - h(x)) dx = \int g(x) dx - \int h(x) dx$.

2. Формула для степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

3. Интеграл от константы: $\int a dx = ax + C$.

Находим первообразную для $f(x) = 1 - x$:

$F(x) = \int (1 - x) dx = \int 1 dx - \int x^1 dx = x - \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = x - \frac{x^2}{2} + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

Проверим результат, взяв производную от $F(x)$:

$F'(x) = (x - \frac{x^2}{2} + C)' = (x)' - (\frac{x^2}{2})' + (C)' = 1 - \frac{2x}{2} + 0 = 1 - x = f(x)$.

Производная первообразной совпадает с исходной функцией, следовательно, решение верно.

Ответ: $F(x) = x - \frac{x^2}{2} + C$

2)

Для функции $f(x) = 2x - 1$ находим общий вид первообразной $F(x)$ путем интегрирования:

$F(x) = \int (2x - 1) dx = \int 2x dx - \int 1 dx$.

Используем правило вынесения константы за знак интеграла $\int k \cdot g(x) dx = k \int g(x) dx$ и степенную формулу:

$F(x) = 2 \int x^1 dx - \int 1 dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - x + C = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^2 - x + C$.

Проверка:

$F'(x) = (x^2 - x + C)' = (x^2)' - (x)' + (C)' = 2x - 1 + 0 = 2x - 1 = f(x)$.

Решение верно.

Ответ: $F(x) = x^2 - x + C$

3)

Для функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$ находим общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (3x^2 + 2x - 1) dx = \int 3x^2 dx + \int 2x dx - \int 1 dx$.

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности, используя те же правила:

$F(x) = 3 \int x^2 dx + 2 \int x^1 dx - \int 1 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - x + C = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^3 + x^2 - x + C$.

Проверка:

$F'(x) = (x^3 + x^2 - x + C)' = (x^3)' + (x^2)' - (x)' + (C)' = 3x^2 + 2x - 1 + 0 = 3x^2 + 2x - 1 = f(x)$.

Решение верно.

Ответ: $F(x) = x^3 + x^2 - x + C$

4)

Для функции $f(x) = 2 - 4x - 3x^2$ находим общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (2 - 4x - 3x^2) dx = \int 2 dx - \int 4x dx - \int 3x^2 dx$.

Интегрируем каждое слагаемое:

$F(x) = 2x - 4 \int x^1 dx - 3 \int x^2 dx = 2x - 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 2x - 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = 2x - 2x^2 - x^3 + C$.

Проверка:

$F'(x) = (2x - 2x^2 - x^3 + C)' = (2x)' - (2x^2)' - (x^3)' + (C)' = 2 - 4x - 3x^2 + 0 = 2 - 4x - 3x^2 = f(x)$.

Решение верно.

Ответ: $F(x) = 2x - 2x^2 - x^3 + C$

1.6. 1) $f(x) = 5x^4 - 3x^2;$

2) $f(x) = 4x^3 - 6x^5 + 1;$

3) $f(x) = x^{10} + \frac{13}{12}x^{12};$

4) $f(x) = -x^8 + \frac{15}{14}x^{14}.$

Для нахождения первообразной $F(x)$ для заданной функции $f(x)$ необходимо найти неопределенный интеграл от $f(x)$. Общий вид первообразной включает произвольную постоянную $C$.

Основное правило, которое мы будем использовать, — это правило нахождения первообразной для степенной функции: первообразная для $x^n$ равна $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Также мы будем использовать следующие свойства первообразных:

• Первообразная суммы/разности функций равна сумме/разности их первообразных.
• Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной.

1) $f(x) = 5x^4 - 3x^2$

Найдём первообразную $F(x)$, применив правила для каждого слагаемого:

$F(x) = \int (5x^4 - 3x^2) dx = \int 5x^4 dx - \int 3x^2 dx$

Выносим постоянные множители:

$F(x) = 5 \int x^4 dx - 3 \int x^2 dx$

Применяем формулу для степенной функции:

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C$

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C$

Упрощаем выражение:

$F(x) = x^5 - x^3 + C$

Ответ: $F(x) = x^5 - x^3 + C$

2) $f(x) = 4x^3 - 6x^5 + 1$

Найдём первообразную $F(x)$. Первообразная для константы $1$ равна $x$.

$F(x) = \int (4x^3 - 6x^5 + 1) dx = \int 4x^3 dx - \int 6x^5 dx + \int 1 dx$

Выносим постоянные множители:

$F(x) = 4 \int x^3 dx - 6 \int x^5 dx + \int 1 dx$

Применяем формулу для степенной функции и находим первообразную для константы:

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + x + C$

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 6 \cdot \frac{x^6}{6} + x + C$

Упрощаем выражение:

$F(x) = x^4 - x^6 + x + C$

Ответ: $F(x) = x^4 - x^6 + x + C$

3) $f(x) = x^{10} + \frac{13}{12}x^{12}$

Найдём первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (x^{10} + \frac{13}{12}x^{12}) dx = \int x^{10} dx + \int \frac{13}{12}x^{12} dx$

Выносим постоянный множитель:

$F(x) = \int x^{10} dx + \frac{13}{12} \int x^{12} dx$

Применяем формулу для степенной функции:

$F(x) = \frac{x^{10+1}}{10+1} + \frac{13}{12} \cdot \frac{x^{12+1}}{12+1} + C$

$F(x) = \frac{x^{11}}{11} + \frac{13}{12} \cdot \frac{x^{13}}{13} + C$

Упрощаем выражение, сокращая множитель 13:

$F(x) = \frac{x^{11}}{11} + \frac{1}{12}x^{13} + C$

Ответ: $F(x) = \frac{x^{11}}{11} + \frac{1}{12}x^{13} + C$

4) $f(x) = -x^8 + \frac{15}{14}x^{14}$

Найдём первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (-x^8 + \frac{15}{14}x^{14}) dx = \int -x^8 dx + \int \frac{15}{14}x^{14} dx$

Выносим постоянные множители:

$F(x) = - \int x^8 dx + \frac{15}{14} \int x^{14} dx$

Применяем формулу для степенной функции:

$F(x) = - \frac{x^{8+1}}{8+1} + \frac{15}{14} \cdot \frac{x^{14+1}}{14+1} + C$

$F(x) = - \frac{x^9}{9} + \frac{15}{14} \cdot \frac{x^{15}}{15} + C$

Упрощаем выражение, сокращая множитель 15:

$F(x) = -\frac{x^9}{9} + \frac{1}{14}x^{15} + C$

Ответ: $F(x) = -\frac{x^9}{9} + \frac{1}{14}x^{15} + C$

1.7. 1) $f(x) = 3\cos x - 4\sin x$;

2) $f(x) = 5\sin x + 6\cos x$;

3) $f(x) = \frac{2}{\cos^2 x} + 8x^7$;

4) $f(x) = \frac{3}{\sin^2 x} - 9x^8$.

1) Для нахождения первообразной функции $f(x) = 3\cos x - 4\sin x$ необходимо найти ее неопределенный интеграл. Первообразная $F(x)$ находится по формуле $F(x) = \int f(x)dx$.

$F(x) = \int (3\cos x - 4\sin x)dx = \int 3\cos x dx - \int 4\sin x dx = 3\int \cos x dx - 4\int \sin x dx$.

Используя табличные интегралы $\int \cos x dx = \sin x + C$ и $\int \sin x dx = -\cos x + C$, получаем:

$F(x) = 3(\sin x) - 4(-\cos x) + C = 3\sin x + 4\cos x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = 3\sin x + 4\cos x + C$.

2) Для нахождения первообразной функции $f(x) = 5\sin x + 6\cos x$ найдем ее неопределенный интеграл.

$F(x) = \int (5\sin x + 6\cos x)dx = \int 5\sin x dx + \int 6\cos x dx = 5\int \sin x dx + 6\int \cos x dx$.

Используя табличные интегралы, получаем:

$F(x) = 5(-\cos x) + 6(\sin x) + C = 6\sin x - 5\cos x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = 6\sin x - 5\cos x + C$.

3) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{2}{\cos^2 x} + 8x^7$ найдем ее неопределенный интеграл.

$F(x) = \int (\frac{2}{\cos^2 x} + 8x^7)dx = \int \frac{2}{\cos^2 x} dx + \int 8x^7 dx = 2\int \frac{1}{\cos^2 x} dx + 8\int x^7 dx$.

Используя табличные интегралы $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$ и $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = 2\tan x + 8 \cdot \frac{x^{7+1}}{7+1} + C = 2\tan x + 8 \cdot \frac{x^8}{8} + C = 2\tan x + x^8 + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = 2\tan x + x^8 + C$.

4) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{3}{\sin^2 x} - 9x^8$ найдем ее неопределенный интеграл.

$F(x) = \int (\frac{3}{\sin^2 x} - 9x^8)dx = \int \frac{3}{\sin^2 x} dx - \int 9x^8 dx = 3\int \frac{1}{\sin^2 x} dx - 9\int x^8 dx$.

Используя табличные интегралы $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$ и $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = 3(-\cot x) - 9 \cdot \frac{x^{8+1}}{8+1} + C = -3\cot x - 9 \cdot \frac{x^9}{9} + C = -3\cot x - x^9 + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = -3\cot x - x^9 + C$.

Найдите неопределенные интегралы (1.8–1.9);

1.8. 1) $ \int x^{21}dx; $

2) $ \int x^{-15}dx; $

3) $ \int \frac{1}{4\sqrt{x}}dx; $

4) $ \int \frac{5}{\sin^2 x}dx. $

1) Для нахождения этого интеграла воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

В данном случае показатель степени $n = 21$.

Подставляем значение в формулу: $\int x^{21} dx = \frac{x^{21+1}}{21+1} + C = \frac{x^{22}}{22} + C$.

Ответ: $\frac{x^{22}}{22} + C$.

2) Этот интеграл также является интегралом от степенной функции. Применим ту же формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Здесь показатель степени $n = -15$.

Подставляем значение в формулу: $\int x^{-15} dx = \frac{x^{-15+1}}{-15+1} + C = \frac{x^{-14}}{-14} + C = -\frac{1}{14x^{14}} + C$.

Ответ: $-\frac{1}{14x^{14}} + C$.

3) Сначала преобразуем подынтегральное выражение. Вынесем постоянный множитель $\frac{1}{4}$ за знак интеграла и представим корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.

$\int \frac{1}{4\sqrt{x}} dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{1/2}} dx = \frac{1}{4} \int x^{-1/2} dx$.

Теперь применяем формулу для интегрирования степенной функции, где $n = -1/2$:

$\frac{1}{4} \int x^{-1/2} dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$.

Упростим полученное выражение:

$\frac{1}{4} \cdot 2x^{1/2} + C = \frac{2}{4}x^{1/2} + C = \frac{1}{2}x^{1/2} + C = \frac{\sqrt{x}}{2} + C$.

Ответ: $\frac{\sqrt{x}}{2} + C$.

4) Вынесем постоянный множитель 5 за знак интеграла:

$\int \frac{5}{\sin^2 x} dx = 5 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx$.

Интеграл $\int \frac{dx}{\sin^2 x}$ является табличным. Вспомним, что производная от котангенса равна $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$. Следовательно, первообразной для функции $\frac{1}{\sin^2 x}$ будет функция $-\cot x$.

Таким образом, получаем:

$5 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = 5(-\cot x) + C = -5\cot x + C$.

Ответ: $-5\cot x + C$.

1.9. 1) $\int (x^4 - x^3 + x^2)dx;$

2) $\int (4x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx;$

3) $\int (\cos x - 2)dx;$

4) $\int (3 + \sin x)dx.$

1) Для нахождения данного неопределенного интеграла воспользуемся свойством линейности интеграла (интеграл от суммы/разности равен сумме/разности интегралов) и табличной формулой для интеграла от степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int (x^4 - x^3 + x^2)dx = \int x^4 dx - \int x^3 dx + \int x^2 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} - \frac{x^{3+1}}{3+1} + \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $\frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C$.

2) Аналогично первому пункту, применяем свойство линейности интеграла и формулу для интегрирования степенной функции.

$\int (4x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx = \int 4x^3 dx + \int 5x^4 dx + \int 6x^5 dx = 4\int x^3 dx + 5\int x^4 dx + 6\int x^5 dx$.

Вычисляем каждый интеграл:

$4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 5 \cdot \frac{x^5}{5} + 6 \cdot \frac{x^6}{6} + C$.

После сокращения получаем:

$x^4 + x^5 + x^6 + C$.

Ответ: $x^4 + x^5 + x^6 + C$.

3) Используем свойство линейности интеграла и табличные интегралы от косинуса и константы: $\int \cos x dx = \sin x + C$ и $\int a dx = ax + C$.

$\int (\cos x - 2)dx = \int \cos x dx - \int 2 dx = \sin x - 2x + C$.

Ответ: $\sin x - 2x + C$.

4) Используем свойство линейности интеграла и табличные интегралы от синуса и константы: $\int \sin x dx = -\cos x + C$ и $\int a dx = ax + C$.

$\int (3 + \sin x)dx = \int 3 dx + \int \sin x dx = 3x + (-\cos x) + C = 3x - \cos x + C$.

Ответ: $3x - \cos x + C$.