Страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Сколько функций рассматривается для введения определения первообразной?

Каким условиям должны удовлетворять эти функции?

2. Как можно определить различие двух первообразных одной функции?

3. Имеется ли различие между нахождением первообразной и действием интегрирования?

4. Назовите формулу, связывающую общий вид первообразной и неопределенный интеграл.

5. Какие правила используются для нахождения первообразной функции $f(x) = 3(2x - 3) + \cos2x - 5$?

1. Сколько функций рассматривается для введения определения первообразной? Каким условиям должны удовлетворять эти функции?

Для введения определения первообразной рассматриваются две функции: исходная функция $f(x)$ и ее первообразная $F(x)$.

Эти функции должны удовлетворять следующему условию: производная функции $F(x)$ должна быть равна функции $f(x)$ для всех $x$ из некоторого промежутка. Математически это записывается как $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Для определения первообразной рассматриваются две функции, $f(x)$ и $F(x)$. Основное условие, которому они должны удовлетворять, заключается в том, что производная первообразной $F(x)$ должна быть равна исходной функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

2. Как можно определить различие двух первообразных одной функции?

Различие между любыми двумя первообразными одной и той же функции $f(x)$ всегда является постоянной величиной (константой). Если $F_1(x)$ и $F_2(x)$ — две разные первообразные для функции $f(x)$, то по определению $F_1'(x) = f(x)$ и $F_2'(x) = f(x)$. Рассмотрим производную их разности: $(F_1(x) - F_2(x))' = F_1'(x) - F_2'(x) = f(x) - f(x) = 0$. Поскольку производная разности равна нулю на всем промежутке, сама разность является константой. Таким образом, $F_1(x) - F_2(x) = C$, где $C$ — некоторое постоянное число.

Ответ: Различие двух первообразных одной и той же функции является постоянной величиной (константой).

3. Имеется ли различие между нахождением первообразной и действием интегрирования?

Нахождение первообразной и действие интегрирования (в контексте неопределенного интеграла) — это, по сути, одна и та же операция, обратная дифференцированию. Однако есть небольшое терминологическое различие. "Нахождение первообразной" может означать поиск любой одной функции $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. "Интегрирование" (или вычисление неопределенного интеграла) подразумевает нахождение всей совокупности первообразных, которая описывается общим видом $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: Существенного различия нет, так как это одна и та же обратная операция к дифференцированию. Однако интегрирование обычно подразумевает нахождение общего вида всех первообразных ($F(x) + C$), в то время как "нахождение первообразной" может относиться к поиску одной конкретной функции.

4. Назовите формулу, связывающую общий вид первообразной и неопределенный интеграл.

Неопределенный интеграл от функции $f(x)$ — это совокупность всех ее первообразных. Если $F(x)$ является одной из первообразных для $f(x)$, то общий вид всех первообразных записывается как $F(x) + C$. Формула, связывающая эти понятия, выглядит следующим образом:

$\int f(x) \,dx = F(x) + C$

где $\int f(x) \,dx$ — неопределенный интеграл от функции $f(x)$, $F(x)$ — одна из первообразных, а $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

Ответ: Формула, связывающая общий вид первообразной и неопределенный интеграл: $\int f(x) \,dx = F(x) + C$.

5. Какие правила используются для нахождения первообразной функции f(x) = 3(2x - 3) + cos2x - 5?

Сначала преобразуем функцию: $f(x) = 6x - 9 + \cos(2x) - 5 = 6x + \cos(2x) - 14$.

Для нахождения первообразной этой функции используются следующие правила интегрирования:

1. Правило интегрирования суммы/разности: первообразная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их первообразных. $\int (u(x) \pm v(x)) \,dx = \int u(x) \,dx \pm \int v(x) \,dx$.

2. Вынесение постоянного множителя за знак интеграла: $\int k \cdot g(x) \,dx = k \cdot \int g(x) \,dx$. Это правило применяется к слагаемому $6x$.

3. Первообразная степенной функции: $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Это правило используется для нахождения первообразной от $x$.

4. Первообразная константы: $\int k \,dx = kx + C$. Это правило используется для нахождения первообразной от $-14$.

5. Первообразная сложной функции с линейным аргументом: $\int g(kx+b) \,dx = \frac{1}{k} G(kx+b) + C$, где $G$ — первообразная для $g$. Это правило применяется к слагаемому $\cos(2x)$, где $g(u)=\cos(u)$, $k=2$, $b=0$. Первообразная для $\cos(u)$ — это $\sin(u)$.

Применяя эти правила, находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int (6x + \cos(2x) - 14) \,dx = 6 \int x \,dx + \int \cos(2x) \,dx - \int 14 \,dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\sin(2x) - 14x + C = 3x^2 + \frac{1}{2}\sin(2x) - 14x + C$.

Ответ: Используются правила: нахождение первообразной суммы/разности функций, вынесение постоянного множителя, нахождение первообразной степенной функции, константы и сложной функции вида $g(kx+b)$.