Страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.25. 1) $f(x) = \frac{1}{\cos^2\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)}$, $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1;$

2) $f(x) = \frac{1}{\sin^2\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)}$, $F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{8\sqrt{3}}{9}.$

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})}$ требуется найти такую первообразную $F(x)$, для которой выполняется условие $F(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Сначала найдем общий вид первообразных для функции $f(x)$. Для этого вычислим неопределенный интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})} dx$.

Используем табличный интеграл $\int \frac{1}{\cos^2(u)} du = \tan(u) + C$ и метод замены переменной. Пусть $u = 2x - \frac{\pi}{4}$, тогда $du = d(2x - \frac{\pi}{4}) = 2dx$, откуда $dx = \frac{1}{2}du$.

$F(x) = \int \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2(u)} du = \frac{1}{2} \tan(u) + C$.

Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = \frac{1}{2} \tan(2x - \frac{\pi}{4}) + C$.

Теперь используем заданное условие $F(\frac{\pi}{4}) = 1$, чтобы найти константу $C$. Подставим $x = \frac{\pi}{4}$ в выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \tan(2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) + C = \frac{1}{2} \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) + C = \frac{1}{2} \tan(\frac{\pi}{4}) + C$.

Поскольку $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + C$,

$1 = \frac{1}{2} + C$,

$C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = \frac{1}{2} \tan(2x - \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2} \tan(2x - \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{2}$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2(3x - \frac{\pi}{6})}$ требуется найти такую первообразную $F(x)$, для которой выполняется условие $F(\frac{\pi}{6}) = \frac{8\sqrt{3}}{9}$.

Сначала найдем общий вид первообразных для функции $f(x)$. Для этого вычислим неопределенный интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{\sin^2(3x - \frac{\pi}{6})} dx$.

Используем табличный интеграл $\int \frac{1}{\sin^2(u)} du = -\cot(u) + C$ и метод замены переменной. Пусть $u = 3x - \frac{\pi}{6}$, тогда $du = d(3x - \frac{\pi}{6}) = 3dx$, откуда $dx = \frac{1}{3}du$.

$F(x) = \int \frac{1}{\sin^2(u)} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sin^2(u)} du = -\frac{1}{3} \cot(u) + C$.

Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = -\frac{1}{3} \cot(3x - \frac{\pi}{6}) + C$.

Теперь используем заданное условие $F(\frac{\pi}{6}) = \frac{8\sqrt{3}}{9}$, чтобы найти константу $C$. Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{3} \cot(3 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) + C = -\frac{1}{3} \cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) + C = -\frac{1}{3} \cot(\frac{\pi}{3}) + C$.

Поскольку $\cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:

$\frac{8\sqrt{3}}{9} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + C$,

$\frac{8\sqrt{3}}{9} = -\frac{\sqrt{3}}{9} + C$,

$C = \frac{8\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{9} = \frac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3}$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = -\frac{1}{3} \cot(3x - \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3} \cot(3x - \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3}$.

1.26. Ускорение прямолинейно движущейся точки изменяется по закону $a = 2t$ (время $t$ измеряется в секундах, ускорение — в м/с$^2$). Как изменится закон движения тела, если:

1) через 1 с после начала движения точка пройдет 10 м и скорость будет 4 м/с;

2) через 2 с скорость будет 6 м/с, а после 3 с пройдет 40 м?

Закон движения тела — это зависимость координаты от времени $x(t)$. Чтобы найти эту зависимость, необходимо дважды проинтегрировать по времени заданный закон изменения ускорения $a(t)$.

Ускорение точки изменяется по закону: $a(t) = 2t$.

Скорость $v(t)$ является первообразной (интегралом) для ускорения:

$v(t) = \int a(t) dt = \int 2t \, dt = t^2 + C_1$, где $C_1$ – константа интегрирования, физически представляющая собой начальную скорость (скорость в момент $t=0$).

Координата $x(t)$ является первообразной (интегралом) для скорости:

$x(t) = \int v(t) dt = \int (t^2 + C_1) dt = \frac{t^3}{3} + C_1 t + C_2$, где $C_2$ – вторая константа интегрирования, представляющая собой начальную координату (положение в момент $t=0$).

Общий вид закона движения тела: $x(t) = \frac{t^3}{3} + C_1 t + C_2$. Для нахождения конкретного закона движения необходимо определить константы $C_1$ и $C_2$ из условий, приведенных в каждом пункте.

1) через 1 с после начала движения точка пройдет 10 м и скорость будет 4 м/с;

Используем данные условия для нахождения констант. В момент времени $t=1$ с скорость $v(1) = 4$ м/с.

Подставляем это в уравнение для скорости: $v(1) = 1^2 + C_1 = 4$.

Отсюда находим $C_1$: $1 + C_1 = 4 \implies C_1 = 3$.

Теперь закон изменения скорости: $v(t) = t^2 + 3$. Подставим найденное $C_1$ в уравнение для координаты: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 3t + C_2$.

Второе условие гласит, что за 1 секунду точка пройдет 10 м. Пройденный путь $s$ за промежуток времени от $t=0$ до $t=1$ вычисляется как $s(1) = x(1) - x(0)$.

$x(1) = \frac{1^3}{3} + 3(1) + C_2 = \frac{1}{3} + 3 + C_2 = \frac{10}{3} + C_2$.

$x(0) = \frac{0^3}{3} + 3(0) + C_2 = C_2$.

Тогда пройденный путь: $s(1) = (\frac{10}{3} + C_2) - C_2 = \frac{10}{3}$ м.

Полученное значение $s(1) = \frac{10}{3}$ м противоречит условию задачи, где путь равен 10 м. Это указывает на некорректность формулировки задачи. Наиболее вероятно, что под фразой "пройдет 10 м" подразумевается, что координата точки в момент времени $t=1$ с будет равна 10 м, то есть $x(1)=10$. Примем эту гипотезу для нахождения решения.

Используем условие $x(1) = 10$ для нахождения $C_2$:

$\frac{1^3}{3} + 3(1) + C_2 = 10 \implies \frac{10}{3} + C_2 = 10 \implies C_2 = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$.

Таким образом, закон движения тела для данного случая:

Ответ: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 3t + \frac{20}{3}$

2) через 2 с скорость будет 6 м/с, а после 3 с пройдет 40 м?

Используем условие для скорости при $t=2$ с: $v(2) = 6$ м/с.

Подставляем в общее уравнение для скорости: $v(2) = 2^2 + C_1 = 6$.

Отсюда находим $C_1$: $4 + C_1 = 6 \implies C_1 = 2$.

Закон изменения скорости: $v(t) = t^2 + 2$. Соответственно, закон движения: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 2t + C_2$.

Второе условие: за 3 секунды точка пройдет 40 м. Проверим это условие, рассчитав путь $s(3) = x(3) - x(0)$.

$x(3) = \frac{3^3}{3} + 2(3) + C_2 = 9 + 6 + C_2 = 15 + C_2$.

$x(0) = \frac{0^3}{3} + 2(0) + C_2 = C_2$.

Пройденный путь за 3 секунды: $s(3) = (15 + C_2) - C_2 = 15$ м.

Снова получаем противоречие: рассчитанный путь (15 м) не совпадает с данным в условии (40 м). Как и в предыдущем пункте, предположим, что условие "пройдет 40 м" означает, что координата точки в момент $t=3$ с равна 40, т.е. $x(3) = 40$.

Используем это условие для нахождения $C_2$:

$\frac{3^3}{3} + 2(3) + C_2 = 40 \implies 15 + C_2 = 40 \implies C_2 = 25$.

Таким образом, закон движения тела для данного случая:

Ответ: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 2t + 25$

ПОДГОТОВЬТЕ СООБЩЕНИЕ ОБ УЧЕНЫХ-МАТЕМАТИКАХ

1.27. Использование символа $∫$ предложил Готфрид Вильгельм Лейбниц. Термин "интеграл" ввел Иоганн Бернулли, а появился он в работах Якоба Бернулли.

Я. Бернулли

(1655—1705)

Г.В. Лейбниц

(1646—1716)

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716)

Немецкий философ, математик, физик и изобретатель, Готфрид Вильгельм Лейбниц является одной из ключевых фигур в истории науки и философии. Наряду с Исааком Ньютоном он считается создателем дифференциального и интегрального исчисления. Преимущество подхода Лейбница заключалось в разработанной им системе обозначений, которая оказалась настолько удобной, что используется и по сей день. Именно он в 1675 году ввёл знак интеграла $ \int $ — стилизованную букву S от латинского слова summa (сумма), — а также обозначение для дифференциала $dx$. Его работы заложили основу для современного математического анализа. Помимо математики, Лейбниц внёс фундаментальный вклад в философию (метафизика, теория познания), логику, а также разработал двоичную систему счисления, лежащую в основе современных компьютерных технологий.

Ответ: Готфрид Вильгельм Лейбниц — немецкий учёный-энциклопедист, один из создателей математического анализа, который предложил общепринятую сегодня символику исчисления, включая знак интеграла $ \int $ и дифференциала $dx$.

Якоб Бернулли (1655–1705)

Швейцарский математик, старший представитель выдающейся семьи учёных Бернулли. Якоб был одним из первых, кто оценил и начал активно развивать исчисление бесконечно малых, созданное Лейбницем. Его исследования значительно обогатили новый раздел математики. Он внёс весомый вклад в аналитическую геометрию, исследовав свойства многих плоских кривых (например, лемнискаты Бернулли и логарифмической спирали). Однако главные его достижения лежат в области теории вероятностей и вариационного исчисления. В своём посмертно изданном труде "Искусство предположений" ("Ars Conjectandi") он сформулировал и доказал один из фундаментальных её законов — закон больших чисел. Также с его именем связаны числа Бернулли, имеющие важное значение в теории чисел и анализе. Именно в печатных работах Якоба Бернулли впервые появился термин "интеграл".

Ответ: Якоб Бернулли — швейцарский математик, внёсший фундаментальный вклад в зарождение и развитие вариационного исчисления и теории вероятностей, в частности, доказав закон больших чисел. В его работах впервые был опубликован термин "интеграл".

Иоганн Бернулли (1667–1748)

Швейцарский математик, механик и врач, младший брат Якоба Бернулли и отец Даниила Бернулли. Иоганн был учеником своего старшего брата, но вскоре превзошёл его во многих областях анализа. Он активно переписывался с Лейбницем и внёс огромный вклад в популяризацию дифференциального и интегрального исчисления в Европе. Именно Иоганн Бернулли в 1695 году в переписке с Лейбницем предложил заменить громоздкое название "суммирующее исчисление" на "интегральное исчисление" (calculus integralis), и термин "интеграл" был принят. Он известен как учитель великого Леонарда Эйлера и маркиза Гийома де Лопиталя, для которого он, по сути, написал первый в мире учебник по матанализу, содержащий знаменитое "правило Лопиталя". Иоганн также известен решением задачи о брахистохроне, что стимулировало развитие вариационного исчисления.

Ответ: Иоганн Бернулли — швейцарский математик, сыгравший ключевую роль в становлении и распространении математического анализа в Европе и предложивший сам термин "интеграл" для обозначения операции, обратной дифференцированию.