Страница 16 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, график которой проходит через точку $M(a; b)$ (1.10—1.11):

1.10. 1) $f(x) = 1 + \frac{x}{2}$, $M(1; 3)$;

2) $f(x) = 2 + 4x$, $M(-1; 1);

3) $f(x) = \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$, $M\left(\frac{\pi}{2}; 1\right);

4) $f(x) = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$, $M\left(\frac{3\pi}{2}; 2\right)$.

1) Первообразная для функции $f(x)$ — это функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Общий вид первообразной для $f(x) = 1 + \frac{x}{2}$ находится путем интегрирования:$F(x) = \int (1 + \frac{x}{2}) dx = \int 1 dx + \frac{1}{2} \int x dx = x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = x + \frac{x^2}{4} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.По условию, график первообразной проходит через точку $M(1; 3)$, что означает, что при $x=1$ значение $F(x)$ равно $3$. Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$, чтобы найти $C$:$F(1) = 1 + \frac{1^2}{4} + C = 3$$1 + \frac{1}{4} + C = 3$$\frac{5}{4} + C = 3$$C = 3 - \frac{5}{4} = \frac{12 - 5}{4} = \frac{7}{4}$.Следовательно, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = x + \frac{x^2}{4} + \frac{7}{4}$.

Ответ: $F(x) = x + \frac{x^2}{4} + \frac{7}{4}$.

2) Для функции $f(x) = 2 + 4x$ найдем общий вид первообразной:$F(x) = \int (2 + 4x) dx = \int 2 dx + \int 4x dx = 2x + 4 \frac{x^2}{2} + C = 2x + 2x^2 + C$.График проходит через точку $M(-1; 1)$, значит $F(-1) = 1$. Подставим значения:$F(-1) = 2(-1) + 2(-1)^2 + C = 1$$-2 + 2(1) + C = 1$$-2 + 2 + C = 1$$C = 1$.Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = 2x + 2x^2 + 1$.

Ответ: $F(x) = 2x + 2x^2 + 1$.

3) Для функции $f(x) = \cos(x - \frac{\pi}{3})$ найдем общий вид первообразной:$F(x) = \int \cos(x - \frac{\pi}{3}) dx = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + C$.График проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 1)$, значит $F(\frac{\pi}{2}) = 1$. Подставим значения:$F(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) + C = 1$$\sin(\frac{3\pi - 2\pi}{6}) + C = 1$$\sin(\frac{\pi}{6}) + C = 1$$\frac{1}{2} + C = 1$$C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2}$.

4) Для функции $f(x) = \sin(x - \frac{\pi}{4})$ найдем общий вид первообразной:$F(x) = \int \sin(x - \frac{\pi}{4}) dx = -\cos(x - \frac{\pi}{4}) + C$.График проходит через точку $M(\frac{3\pi}{2}; 2)$, значит $F(\frac{3\pi}{2}) = 2$. Подставим значения:$F(\frac{3\pi}{2}) = -\cos(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) + C = 2$$-\cos(\frac{6\pi - \pi}{4}) + C = 2$$-\cos(\frac{5\pi}{4}) + C = 2$.Значение косинуса $\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.Подставляем это значение в уравнение:$-(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + C = 2$$\frac{\sqrt{2}}{2} + C = 2$$C = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = -\cos(x - \frac{\pi}{4}) + 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\cos(x - \frac{\pi}{4}) + 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

1.11. 1) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{2x + 1}}$, M(4; 5);

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 3x}}$, M(0; $\frac{2}{3}$);

3) $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$, M($\frac{\pi}{4}$; 2);

4) $f(x) = \frac{2}{\sin^2 x}$, M($\frac{\pi}{4}$; 3).

1)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{2}{\sqrt{2x+1}}$, график которой проходит через заданную точку $M(4; 5)$.

Сначала находим общий вид первообразной путем вычисления неопределенного интеграла от функции $f(x)$:

$F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{2}{\sqrt{2x+1}} dx = 2 \int (2x+1)^{-1/2} dx$.

Используя формулу для интеграла степенной функции сложного аргумента $\int(ax+b)^n dx = \frac{1}{a}\frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{(2x+1)^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{2x+1} + C$.

Таким образом, общий вид первообразной: $F(x) = 2\sqrt{2x+1} + C$.

Далее, чтобы найти значение константы $C$, используем условие, что график проходит через точку $M(4; 5)$, то есть $F(4)=5$.

Подставляем $x=4$ и $y=5$ в уравнение для $F(x)$:

$5 = 2\sqrt{2 \cdot 4 + 1} + C$

$5 = 2\sqrt{8 + 1} + C$

$5 = 2\sqrt{9} + C$

$5 = 2 \cdot 3 + C$

$5 = 6 + C$

$C = 5 - 6 = -1$.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = 2\sqrt{2x+1} - 1$.

Ответ: $F(x) = 2\sqrt{2x+1} - 1$.

2)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-3x}}$, график которой проходит через заданную точку $M(0; \frac{2}{3})$.

Сначала находим общий вид первообразной путем вычисления неопределенного интеграла от функции $f(x)$:

$F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-3x}} dx = \int (1-3x)^{-1/2} dx$.

Используя формулу $\int(ax+b)^n dx = \frac{1}{a}\frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(1-3x)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(1-3x)^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + C$.

Таким образом, общий вид первообразной: $F(x) = -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + C$.

Далее, чтобы найти значение константы $C$, используем условие, что график проходит через точку $M(0; \frac{2}{3})$, то есть $F(0)=\frac{2}{3}$.

Подставляем $x=0$ и $y=\frac{2}{3}$ в уравнение для $F(x)$:

$\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}\sqrt{1 - 3 \cdot 0} + C$

$\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}\sqrt{1} + C$

$\frac{2}{3} = -\frac{2}{3} + C$

$C = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + \frac{4}{3}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + \frac{4}{3}$.

3)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$, график которой проходит через заданную точку $M(\frac{\pi}{4}; 2)$.

Сначала находим общий вид первообразной. Мы знаем, что $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$.

$F(x) = \int \frac{3}{\cos^2 x} dx = 3 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = 3 \tan x + C$.

Таким образом, общий вид первообразной: $F(x) = 3 \tan x + C$.

Далее, чтобы найти значение константы $C$, используем условие, что график проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; 2)$, то есть $F(\frac{\pi}{4})=2$.

Подставляем $x=\frac{\pi}{4}$ и $y=2$ в уравнение для $F(x)$:

$2 = 3 \tan(\frac{\pi}{4}) + C$

Так как $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$2 = 3 \cdot 1 + C$

$2 = 3 + C$

$C = 2 - 3 = -1$.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = 3 \tan x - 1$.

Ответ: $F(x) = 3 \tan x - 1$.

4)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{2}{\sin^2 x}$, график которой проходит через заданную точку $M(\frac{\pi}{4}; 3)$.

Сначала находим общий вид первообразной. Мы знаем, что $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.

$F(x) = \int \frac{2}{\sin^2 x} dx = 2 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -2 \cot x + C$.

Таким образом, общий вид первообразной: $F(x) = -2 \cot x + C$.

Далее, чтобы найти значение константы $C$, используем условие, что график проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; 3)$, то есть $F(\frac{\pi}{4})=3$.

Подставляем $x=\frac{\pi}{4}$ и $y=3$ в уравнение для $F(x)$:

$3 = -2 \cot(\frac{\pi}{4}) + C$

Так как $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$3 = -2 \cdot 1 + C$

$3 = -2 + C$

$C = 3 + 2 = 5$.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = -2 \cot x + 5$.

Ответ: $F(x) = -2 \cot x + 5$.

1.12. Скорость точки, находящейся в прямолинейном движении, изменяется по закону $v(t) = t + 3t^2$ (время измеряется в секундах, скорость — в м/с). Найдите изменение координаты точки в зависимости от времени.

Скорость точки $v(t)$ является производной ее координаты (пути) $s(t)$ по времени $t$: $v(t) = s'(t)$. Следовательно, чтобы найти функцию, описывающую координату точки в зависимости от времени, необходимо найти первообразную для функции скорости, то есть вычислить неопределенный интеграл.

Закон изменения скорости задан уравнением: $v(t) = t + 3t^2$.

Найдем функцию координаты $s(t)$ путем интегрирования функции скорости $v(t)$ по времени $t$:

$s(t) = \int v(t) dt = \int (t + 3t^2) dt$

Используя свойство линейности интеграла и формулу для интеграла степенной функции $(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C)$, получаем:

$s(t) = \int t dt + \int 3t^2 dt = \frac{t^{1+1}}{1+1} + 3 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} + C = \frac{t^2}{2} + 3 \cdot \frac{t^3}{3} + C$

Упростив выражение, получим закон изменения координаты:

$s(t) = \frac{t^2}{2} + t^3 + C$

Здесь $C$ — константа интегрирования, которая соответствует начальной координате точки в момент времени $t=0$, то есть $C = s(0)$.

Изменение координаты точки за время $t$ (или перемещение) — это разность между ее конечной координатой $s(t)$ и начальной координатой $s(0)$. Обозначим это изменение как $\Delta s(t)$:

$\Delta s(t) = s(t) - s(0) = \left(\frac{t^2}{2} + t^3 + C\right) - C = \frac{t^2}{2} + t^3$

Таким образом, изменение координаты точки в зависимости от времени описывается функцией $\Delta s(t) = \frac{t^2}{2} + t^3$.

Ответ: $\Delta s(t) = \frac{t^2}{2} + t^3$.

1.13. Скорость точки, находящейся в прямолинейном движении, изменяется по закону $u(t) = 2t + 6t^2$ (время измеряется в секундах, скорость — в м/с). Найдите изменение координаты точки в зависимости от времени.

По определению, скорость является производной от координаты по времени. Для прямолинейного движения это записывается как $v(t) = \frac{dx}{dt}$. Чтобы найти закон изменения координаты $x(t)$, необходимо выполнить обратную операцию — интегрирование функции скорости $v(t)$ по времени $t$.

Зависимость координаты от времени $x(t)$ находится как неопределенный интеграл от функции скорости: $x(t) = \int v(t) dt = \int (2t + 6t^2) dt$

Используя правила интегрирования, в частности формулу для степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$, вычислим интеграл: $x(t) = \int 2t dt + \int 6t^2 dt = 2 \cdot \frac{t^2}{2} + 6 \cdot \frac{t^3}{3} + C$ $x(t) = t^2 + 2t^3 + C$

В полученном выражении $C$ — это константа интегрирования, которая соответствует начальной координате точки при $t=0$, то есть $C = x(0)$.

Изменение координаты точки за время $t$ (также называемое перемещением) — это разность между ее координатой в момент времени $t$ и ее начальной координатой $x(0)$. Обозначим это изменение как $\Delta x(t)$. $\Delta x(t) = x(t) - x(0) = (t^2 + 2t^3 + C) - C$

Следовательно, искомое изменение координаты в зависимости от времени равно: $\Delta x(t) = t^2 + 2t^3$

Ответ: $\Delta x(t) = t^2 + 2t^3$.

Выясните, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке (1.14–1.16):

1.14.1) $F(x) = x\sin x,$ $f(x) = \sin x + x\cos x, x \in R;$
2) $F(x) = x\cos x,$ $f(x) = \cos x - x\sin x, x \in R;$
3) $F(x) = 2\sin 6x,$ $f(x) = 12\cos 6x, x \in R;$
4) $F(x) = -5\cos\frac{x}{5},$ $f(x) = \sin\frac{x}{5}, x \in R;$
5) $F(x) = 2\cos 2x - \sin 4x,$ $f(x) = -4(\sin 2x + \cos 4x), x \in R;$
6) $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x + \frac{1}{4}\cos 8x,$ $f(x) = \cos 3x - 2\sin 8x, x \in R.$

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Чтобы проверить это, для каждого пункта найдем производную функции $F(x)$ и сравним ее с функцией $f(x)$.

1) Даны функции $F(x) = x\sin x$ и $f(x) = \sin x + x\cos x$.

Найдём производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$F'(x) = (x\sin x)' = (x)'\sin x + x(\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x\cos x$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, является.

2) Даны функции $F(x) = x\cos x$ и $f(x) = \cos x - x\sin x$.

Найдём производную функции $F(x)$ по правилу дифференцирования произведения:

$F'(x) = (x\cos x)' = (x)'\cos x + x(\cos x)' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x\sin x$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, является.

3) Даны функции $F(x) = 2\sin 6x$ и $f(x) = 12\cos 6x$.

Найдём производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$:

$F'(x) = (2\sin 6x)' = 2 \cdot (\sin 6x)' = 2 \cdot \cos(6x) \cdot (6x)' = 2 \cdot \cos(6x) \cdot 6 = 12\cos 6x$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, является.

4) Даны функции $F(x) = -5\cos\frac{x}{5}$ и $f(x) = \sin\frac{x}{5}$.

Найдём производную функции $F(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (-5\cos\frac{x}{5})' = -5 \cdot (-\sin\frac{x}{5}) \cdot (\frac{x}{5})' = -5 \cdot (-\sin\frac{x}{5}) \cdot \frac{1}{5} = \sin\frac{x}{5}$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, является.

5) Даны функции $F(x) = 2\cos 2x - \sin 4x$ и $f(x) = -4(\sin 2x + \cos 4x)$.

Найдём производную функции $F(x)$ как производную разности:

$F'(x) = (2\cos 2x - \sin 4x)' = (2\cos 2x)' - (\sin 4x)'$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции к каждому слагаемому:

$(2\cos 2x)' = 2 \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)' = -4\sin 2x$.

$(\sin 4x)' = \cos 4x \cdot (4x)' = 4\cos 4x$.

Таким образом, $F'(x) = -4\sin 2x - 4\cos 4x = -4(\sin 2x + \cos 4x)$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, является.

6) Даны функции $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x + \frac{1}{4}\cos 8x$ и $f(x) = \cos 3x - 2\sin 8x$.

Найдём производную функции $F(x)$ как производную суммы:

$F'(x) = (\frac{1}{3}\sin 3x + \frac{1}{4}\cos 8x)' = (\frac{1}{3}\sin 3x)' + (\frac{1}{4}\cos 8x)'$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции к каждому слагаемому:

$(\frac{1}{3}\sin 3x)' = \frac{1}{3} \cdot \cos 3x \cdot (3x)' = \frac{1}{3} \cdot \cos 3x \cdot 3 = \cos 3x$.

$(\frac{1}{4}\cos 8x)' = \frac{1}{4} \cdot (-\sin 8x) \cdot (8x)' = \frac{1}{4} \cdot (-\sin 8x) \cdot 8 = -2\sin 8x$.

Таким образом, $F'(x) = \cos 3x - 2\sin 8x$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, является.

1.15. 1) $F(x) = \frac{3}{x^2} + 2x,$ $f(x) = 2 - \frac{6}{x^3}, x \in (0; +\infty);$

2) $F(x) = 3x - \frac{2}{x^3},$ $f(x) = 3 + \frac{6}{x^4}, x \in (0; +\infty).$

1)

Чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$. По определению, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, если $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из заданного промежутка.

Даны функции: $F(x) = \frac{3}{x^2} + 2x$ и $f(x) = 2 - \frac{6}{x^3}$ на промежутке $x \in (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$. Для удобства дифференцирования запишем $F(x)$ в виде степенной функции: $F(x) = 3x^{-2} + 2x$.

Используя правила дифференцирования, в частности, производную степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и производную суммы, получаем:

$F'(x) = (3x^{-2} + 2x)' = (3x^{-2})' + (2x)' = 3 \cdot (-2)x^{-2-1} + 2 = -6x^{-3} + 2$.

Перепишем полученное выражение в виде, аналогичном $f(x)$:

$F'(x) = 2 - \frac{6}{x^3}$.

Сравним производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = 2 - \frac{6}{x^3}$

$f(x) = 2 - \frac{6}{x^3}$

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из промежутка $(0; +\infty)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

2)

Аналогично проверим вторую пару функций: $F(x) = 3x - \frac{2}{x^3}$ и $f(x) = 3 + \frac{6}{x^4}$ на промежутке $x \in (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$. Представим $F(x)$ в виде степенной функции: $F(x) = 3x - 2x^{-3}$.

Продифференцируем $F(x)$:

$F'(x) = (3x - 2x^{-3})' = (3x)' - (2x^{-3})' = 3 - 2 \cdot (-3)x^{-3-1} = 3 - (-6)x^{-4} = 3 + 6x^{-4}$.

Перепишем результат в виде дроби:

$F'(x) = 3 + \frac{6}{x^4}$.

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = 3 + \frac{6}{x^4}$

$f(x) = 3 + \frac{6}{x^4}$

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из промежутка $(0; +\infty)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

1.16. 1) $F(x) = \sqrt{4x - 5},$

$f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x - 5}}, x \in \left(\frac{5}{4}; +\infty\right);$

2) $F(x) = \sqrt{5 - 4x},$

$f(x) = -\frac{2}{\sqrt{5 - 4x}}, x \in \left(-\infty; \frac{5}{4}\right).$

1) Для того чтобы доказать, что функция $F(x) = \sqrt{4x-5}$ является первообразной для функции $f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x - 5}}$ на промежутке $x \in (\frac{5}{4}; +\infty)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$ на указанном промежутке.

Используем правило дифференцирования сложной функции: $( \sqrt{u} )' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

В данном случае $u(x) = 4x-5$, следовательно, $u'(x) = (4x-5)' = 4$.

Находим производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\sqrt{4x-5})' = \frac{1}{2\sqrt{4x-5}} \cdot (4x-5)' = \frac{1}{2\sqrt{4x-5}} \cdot 4 = \frac{4}{2\sqrt{4x-5}} = \frac{2}{\sqrt{4x-5}}$.

Полученное выражение для $F'(x)$ полностью совпадает с функцией $f(x)$.

Область определения производной $F'(x)$ задается неравенством $4x-5 > 0$, то есть $x > \frac{5}{4}$, что соответствует указанному в условии промежутку $x \in (\frac{5}{4}; +\infty)$.

Ответ: Поскольку производная $F'(x)$ равна $f(x)$ для всех $x$ из промежутка $(\frac{5}{4}; +\infty)$, функция $F(x) = \sqrt{4x-5}$ является первообразной для функции $f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x-5}}$ на этом промежутке.

2) Аналогично, докажем, что функция $F(x) = \sqrt{5-4x}$ является первообразной для функции $f(x) = -\frac{2}{\sqrt{5 - 4x}}$ на промежутке $x \in (-\infty; \frac{5}{4})$. Для этого найдем производную функции $F(x)$.

Снова используем правило дифференцирования сложной функции: $( \sqrt{u} )' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

Здесь $u(x) = 5-4x$, следовательно, $u'(x) = (5-4x)' = -4$.

Находим производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\sqrt{5-4x})' = \frac{1}{2\sqrt{5-4x}} \cdot (5-4x)' = \frac{1}{2\sqrt{5-4x}} \cdot (-4) = \frac{-4}{2\sqrt{5-4x}} = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$.

Полученное выражение для $F'(x)$ полностью совпадает с функцией $f(x)$.

Область определения производной $F'(x)$ задается неравенством $5-4x > 0$, то есть $4x < 5$ или $x < \frac{5}{4}$, что соответствует указанному в условии промежутку $x \in (-\infty; \frac{5}{4})$.

Ответ: Поскольку производная $F'(x)$ равна $f(x)$ для всех $x$ из промежутка $(-\infty; \frac{5}{4})$, функция $F(x) = \sqrt{5-4x}$ является первообразной для функции $f(x) = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$ на этом промежутке.