Номер 1.15, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.15. 1) $F(x) = \frac{3}{x^2} + 2x,$ $f(x) = 2 - \frac{6}{x^3}, x \in (0; +\infty);$

2) $F(x) = 3x - \frac{2}{x^3},$ $f(x) = 3 + \frac{6}{x^4}, x \in (0; +\infty).$

1)

Чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$. По определению, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, если $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из заданного промежутка.

Даны функции: $F(x) = \frac{3}{x^2} + 2x$ и $f(x) = 2 - \frac{6}{x^3}$ на промежутке $x \in (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$. Для удобства дифференцирования запишем $F(x)$ в виде степенной функции: $F(x) = 3x^{-2} + 2x$.

Используя правила дифференцирования, в частности, производную степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и производную суммы, получаем:

$F'(x) = (3x^{-2} + 2x)' = (3x^{-2})' + (2x)' = 3 \cdot (-2)x^{-2-1} + 2 = -6x^{-3} + 2$.

Перепишем полученное выражение в виде, аналогичном $f(x)$:

$F'(x) = 2 - \frac{6}{x^3}$.

Сравним производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = 2 - \frac{6}{x^3}$

$f(x) = 2 - \frac{6}{x^3}$

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из промежутка $(0; +\infty)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

2)

Аналогично проверим вторую пару функций: $F(x) = 3x - \frac{2}{x^3}$ и $f(x) = 3 + \frac{6}{x^4}$ на промежутке $x \in (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$. Представим $F(x)$ в виде степенной функции: $F(x) = 3x - 2x^{-3}$.

Продифференцируем $F(x)$:

$F'(x) = (3x - 2x^{-3})' = (3x)' - (2x^{-3})' = 3 - 2 \cdot (-3)x^{-3-1} = 3 - (-6)x^{-4} = 3 + 6x^{-4}$.

Перепишем результат в виде дроби:

$F'(x) = 3 + \frac{6}{x^4}$.

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = 3 + \frac{6}{x^4}$

$f(x) = 3 + \frac{6}{x^4}$

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из промежутка $(0; +\infty)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.