Номер 1.20, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.20. 1) $f(x) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{3} + 2x\right)}$;

2) $f(x) = \frac{1}{\sin^2\left(3x - \frac{\pi}{8}\right)}$;

3) $f(x) = 1 - \frac{5}{\sin^2\left(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{6}\right)}$;

4) $f(x) = 1 + \frac{6}{\cos^2\left(\frac{x}{6} - \frac{\pi}{5}\right)}$;

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{3} + 2x)}$. Для нахождения наименьшего положительного периода этой функции, определим период основной функции и учтем влияние коэффициента при аргументе.

Основной функцией является $y = \cos(u)$, ее период равен $2\pi$.

Для функции $y = \cos^2(u)$, период в два раза меньше, чем у $\cos(u)$, и равен $\pi$. Это можно проверить с помощью формулы понижения степени: $\cos^2(u) = \frac{1 + \cos(2u)}{2}$. Период функции $\cos(2u)$ равен $\frac{2\pi}{2} = \pi$.

В общем случае, для функции вида $g(kx + b)$, ее период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — период базовой функции $g(u)$.

В нашей задаче базовая функция — это $\cos^2(u)$ с периодом $T_0 = \pi$. Аргумент функции — $(\frac{\pi}{3} + 2x)$, следовательно, коэффициент $k=2$.

Таким образом, период функции $f(x)$ равен $T = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{\sin^2(3x - \frac{\pi}{8})}$.

Основной функцией является $y = \sin(u)$, ее период равен $2\pi$.

Для функции $y = \sin^2(u)$, период в два раза меньше, чем у $\sin(u)$, и равен $\pi$. Это следует из формулы понижения степени: $\sin^2(u) = \frac{1 - \cos(2u)}{2}$. Период функции $\cos(2u)$ равен $\frac{2\pi}{2} = \pi$.

Для функции вида $g(kx + b)$, ее период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — период базовой функции $g(u)$.

В данной задаче базовая функция — это $\sin^2(u)$ с периодом $T_0 = \pi$. Аргумент функции — $(3x - \frac{\pi}{8})$, следовательно, коэффициент $k=3$.

Таким образом, период функции $f(x)$ равен $T = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

3) Дана функция $f(x) = 1 - \frac{5}{\sin^2(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{6})}$.

Операции сложения с константой (1) и умножения на константу (-5) не влияют на период функции. Поэтому период функции $f(x)$ совпадает с периодом функции $y = \frac{1}{\sin^2(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{6})}$.

Период функции $y = \sin^2(u)$ равен $\pi$.

Период функции вида $g(kx + b)$ равен $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — период базовой функции $g(u)$.

В нашем случае базовая функция — $\sin^2(u)$ с периодом $T_0 = \pi$. Аргумент — $(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{6})$, следовательно, коэффициент $k=\frac{1}{5}$.

Таким образом, период функции $f(x)$ равен $T = \frac{\pi}{|\frac{1}{5}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{5}} = 5\pi$.

Ответ: $5\pi$.

4) Дана функция $f(x) = 1 + \frac{6}{\cos^2(\frac{x}{6} - \frac{\pi}{5})}$.

Операции сложения с константой (1) и умножения на константу (6) не влияют на период функции. Период $f(x)$ определяется периодической частью $y = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{6} - \frac{\pi}{5})}$.

Период функции $y = \cos^2(u)$ равен $\pi$.

Период функции вида $g(kx + b)$ равен $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — период базовой функции $g(u)$.

В нашем случае базовая функция — $\cos^2(u)$ с периодом $T_0 = \pi$. Аргумент — $(\frac{x}{6} - \frac{\pi}{5})$, следовательно, коэффициент $k=\frac{1}{6}$.

Таким образом, период функции $f(x)$ равен $T = \frac{\pi}{|\frac{1}{6}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{6}} = 6\pi$.

Ответ: $6\pi$.