Номер 1.26, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.26. Ускорение прямолинейно движущейся точки изменяется по закону $a = 2t$ (время $t$ измеряется в секундах, ускорение — в м/с$^2$). Как изменится закон движения тела, если:

1) через 1 с после начала движения точка пройдет 10 м и скорость будет 4 м/с;

2) через 2 с скорость будет 6 м/с, а после 3 с пройдет 40 м?

Закон движения тела — это зависимость координаты от времени $x(t)$. Чтобы найти эту зависимость, необходимо дважды проинтегрировать по времени заданный закон изменения ускорения $a(t)$.

Ускорение точки изменяется по закону: $a(t) = 2t$.

Скорость $v(t)$ является первообразной (интегралом) для ускорения:

$v(t) = \int a(t) dt = \int 2t \, dt = t^2 + C_1$, где $C_1$ – константа интегрирования, физически представляющая собой начальную скорость (скорость в момент $t=0$).

Координата $x(t)$ является первообразной (интегралом) для скорости:

$x(t) = \int v(t) dt = \int (t^2 + C_1) dt = \frac{t^3}{3} + C_1 t + C_2$, где $C_2$ – вторая константа интегрирования, представляющая собой начальную координату (положение в момент $t=0$).

Общий вид закона движения тела: $x(t) = \frac{t^3}{3} + C_1 t + C_2$. Для нахождения конкретного закона движения необходимо определить константы $C_1$ и $C_2$ из условий, приведенных в каждом пункте.

1) через 1 с после начала движения точка пройдет 10 м и скорость будет 4 м/с;

Используем данные условия для нахождения констант. В момент времени $t=1$ с скорость $v(1) = 4$ м/с.

Подставляем это в уравнение для скорости: $v(1) = 1^2 + C_1 = 4$.

Отсюда находим $C_1$: $1 + C_1 = 4 \implies C_1 = 3$.

Теперь закон изменения скорости: $v(t) = t^2 + 3$. Подставим найденное $C_1$ в уравнение для координаты: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 3t + C_2$.

Второе условие гласит, что за 1 секунду точка пройдет 10 м. Пройденный путь $s$ за промежуток времени от $t=0$ до $t=1$ вычисляется как $s(1) = x(1) - x(0)$.

$x(1) = \frac{1^3}{3} + 3(1) + C_2 = \frac{1}{3} + 3 + C_2 = \frac{10}{3} + C_2$.

$x(0) = \frac{0^3}{3} + 3(0) + C_2 = C_2$.

Тогда пройденный путь: $s(1) = (\frac{10}{3} + C_2) - C_2 = \frac{10}{3}$ м.

Полученное значение $s(1) = \frac{10}{3}$ м противоречит условию задачи, где путь равен 10 м. Это указывает на некорректность формулировки задачи. Наиболее вероятно, что под фразой "пройдет 10 м" подразумевается, что координата точки в момент времени $t=1$ с будет равна 10 м, то есть $x(1)=10$. Примем эту гипотезу для нахождения решения.

Используем условие $x(1) = 10$ для нахождения $C_2$:

$\frac{1^3}{3} + 3(1) + C_2 = 10 \implies \frac{10}{3} + C_2 = 10 \implies C_2 = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$.

Таким образом, закон движения тела для данного случая:

Ответ: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 3t + \frac{20}{3}$

2) через 2 с скорость будет 6 м/с, а после 3 с пройдет 40 м?

Используем условие для скорости при $t=2$ с: $v(2) = 6$ м/с.

Подставляем в общее уравнение для скорости: $v(2) = 2^2 + C_1 = 6$.

Отсюда находим $C_1$: $4 + C_1 = 6 \implies C_1 = 2$.

Закон изменения скорости: $v(t) = t^2 + 2$. Соответственно, закон движения: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 2t + C_2$.

Второе условие: за 3 секунды точка пройдет 40 м. Проверим это условие, рассчитав путь $s(3) = x(3) - x(0)$.

$x(3) = \frac{3^3}{3} + 2(3) + C_2 = 9 + 6 + C_2 = 15 + C_2$.

$x(0) = \frac{0^3}{3} + 2(0) + C_2 = C_2$.

Пройденный путь за 3 секунды: $s(3) = (15 + C_2) - C_2 = 15$ м.

Снова получаем противоречие: рассчитанный путь (15 м) не совпадает с данным в условии (40 м). Как и в предыдущем пункте, предположим, что условие "пройдет 40 м" означает, что координата точки в момент $t=3$ с равна 40, т.е. $x(3) = 40$.

Используем это условие для нахождения $C_2$:

$\frac{3^3}{3} + 2(3) + C_2 = 40 \implies 15 + C_2 = 40 \implies C_2 = 25$.

Таким образом, закон движения тела для данного случая:

Ответ: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 2t + 25$