Номер 2.1, страница 22 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями (2.1–2.3):

2.1. 1) $y = x^2 + 1$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 1$;

2) $y = x^2 - 1$, $y = 0$, $x = 2$, $x = 3$.

2.1. 1) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x)dx$.

В данном случае имеем: $f(x) = x^2 + 1$, $a=0$, $b=1$. Функция $f(x) = x^2 + 1$ является положительной при всех значениях $x$, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2 + 1 \ge 1 > 0$. Значит, функция неотрицательна и на отрезке $[0, 1]$.

Вычислим площадь:$S = \int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx = \left(\frac{x^3}{3} + x\right)\Big|_0^1 = \left(\frac{1^3}{3} + 1\right) - \left(\frac{0^3}{3} + 0\right) = \frac{1}{3} + 1 - 0 = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

2.1. 2) Для нахождения площади используется та же формула $S = \int_{a}^{b} f(x)dx$.

Здесь $f(x) = x^2 - 1$, $a=2$, $b=3$. Необходимо убедиться, что функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[2, 3]$. Для любого $x \in [2, 3]$ выполняется неравенство $x \ge 2$, следовательно $x^2 \ge 4$, а $x^2 - 1 \ge 3$. Таким образом, функция $f(x) = x^2 - 1$ неотрицательна на заданном отрезке.

Вычислим площадь:$S = \int_{2}^{3} (x^2 - 1) dx = \left(\frac{x^3}{3} - x\right)\Big|_2^3 = \left(\frac{3^3}{3} - 3\right) - \left(\frac{2^3}{3} - 2\right) = \left(\frac{27}{3} - 3\right) - \left(\frac{8}{3} - 2\right) = (9 - 3) - \left(\frac{8}{3} - \frac{6}{3}\right) = 6 - \frac{2}{3} = \frac{18}{3} - \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$.

Ответ: $\frac{16}{3}$