Номер 2.6, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2.6. 1) $y = 3x^2 - 4x$, $y = 0$, $x = -2$, $x = -1$;

2) $y = 3x - x^2$, $y = 0$, $x = 2$, $x = 1$.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 3x^2 - 4x$, $y = 0$, $x = -2$ и $x = -1$, необходимо вычислить определенный интеграл. Площадь $S$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$

В данном случае $f(x) = 3x^2 - 4x$, $a = -2$ и $b = -1$.

Сначала определим знак функции $f(x)$ на отрезке $[-2, -1]$. Найдем нули функции, решив уравнение $f(x)=0$:

$3x^2 - 4x = 0$

$x(3x - 4) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{4}{3}$.

Функция $y = 3x^2 - 4x$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, функция положительна при $x < 0$ и при $x > \frac{4}{3}$.

Интервал интегрирования $[-2, -1]$ полностью попадает в область, где $x < 0$, поэтому на этом отрезке функция $f(x)$ положительна, и $|f(x)| = f(x)$.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{-2}^{-1} (3x^2 - 4x) dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (3x^2 - 4x) dx = 3\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} = x^3 - 2x^2$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = [x^3 - 2x^2]_{-2}^{-1} = F(-1) - F(-2)$

$S = ((-1)^3 - 2(-1)^2) - ((-2)^3 - 2(-2)^2)$

$S = (-1 - 2 \cdot 1) - (-8 - 2 \cdot 4)$

$S = (-1 - 2) - (-8 - 8)$

$S = -3 - (-16) = -3 + 16 = 13$

Ответ: $13$

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 3x - x^2$, $y = 0$, $x = 1$ и $x = 2$.

Площадь вычисляется по той же формуле:

$S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$

Здесь $f(x) = 3x - x^2$, $a = 1$ и $b = 2$.

Определим знак функции $f(x)$ на отрезке $[1, 2]$. Найдем нули функции:

$3x - x^2 = 0$

$x(3 - x) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Функция $y = 3x - x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Функция положительна между корнями, то есть на интервале $(0, 3)$.

Отрезок интегрирования $[1, 2]$ полностью содержится в интервале $(0, 3)$, где $f(x) > 0$. Таким образом, $|f(x)| = f(x)$ на данном отрезке.

Вычисляем определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{2} (3x - x^2) dx$

Находим первообразную:

$F(x) = \int (3x - x^2) dx = 3\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{1}^{2} = F(2) - F(1)$

$S = (\frac{3 \cdot 2^2}{2} - \frac{2^3}{3}) - (\frac{3 \cdot 1^2}{2} - \frac{1^3}{3})$

$S = (\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{8}{3}) - (\frac{3}{2} - \frac{1}{3})$

$S = (6 - \frac{8}{3}) - (\frac{3}{2} - \frac{1}{3})$

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:

$S = (\frac{18}{3} - \frac{8}{3}) - (\frac{9}{6} - \frac{2}{6})$

$S = \frac{10}{3} - \frac{7}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$S = \frac{10 \cdot 2}{6} - \frac{7}{6} = \frac{20 - 7}{6} = \frac{13}{6}$

Ответ: $\frac{13}{6}$