Номер 1.21, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.21. 1) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}} + \sin\left(3 - \frac{x}{4}\right);$

2) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-5}} + \cos\left(2 + \frac{x}{3}\right);$

3) $f(x) = \frac{3}{2\sqrt{3-4x}} + \frac{1}{(x+2)^3};$

4) $f(x) = \frac{4}{5\sqrt{2+3x}} - \frac{1}{(2-x)^4}.$

1) Для нахождения всех первообразных $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}} + \sin(3-\frac{x}{4})$ необходимо найти неопределенный интеграл от этой функции:$F(x) = \int (\frac{1}{\sqrt{x+2}} + \sin(3-\frac{x}{4})) dx$.

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции:$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{x+2}} dx + \int \sin(3-\frac{x}{4}) dx$.

Найдем каждый интеграл по отдельности.

Первый интеграл можно представить в виде степенной функции:$\int \frac{1}{\sqrt{x+2}} dx = \int (x+2)^{-\frac{1}{2}} dx$.

Используем табличный интеграл для степенной функции $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $u=x+2$, $du=dx$ и $n = -1/2$.$\int (x+2)^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{(x+2)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C_1 = \frac{(x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = 2\sqrt{x+2} + C_1$.

Второй интеграл:$\int \sin(3-\frac{x}{4}) dx$.

Используем формулу интегрирования $\int \sin(kx+b) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$. Здесь $k = -1/4$ и $b=3$.$\int \sin(3-\frac{x}{4}) dx = -\frac{1}{-\frac{1}{4}}\cos(3-\frac{x}{4}) + C_2 = 4\cos(3-\frac{x}{4}) + C_2$.

Объединяем результаты и общую константу $C = C_1 + C_2$:$F(x) = 2\sqrt{x+2} + 4\cos(3-\frac{x}{4}) + C$.

Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x+2} + 4\cos(3-\frac{x}{4}) + C$.

2) Найдём первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-5}} + \cos(2+\frac{x}{3})$, вычислив её интеграл:$F(x) = \int (\frac{1}{2\sqrt{x-5}} + \cos(2+\frac{x}{3})) dx = \int \frac{1}{2\sqrt{x-5}} dx + \int \cos(2+\frac{x}{3}) dx$.

Вычислим каждый интеграл.

Первый интеграл:$\int \frac{1}{2\sqrt{x-5}} dx = \frac{1}{2} \int (x-5)^{-\frac{1}{2}} dx$.

По формуле $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, где $k=1, b=-5, n=-1/2$:$\frac{1}{2} \frac{(x-5)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C_1 = \frac{1}{2} \frac{(x-5)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = \sqrt{x-5} + C_1$.

Второй интеграл:$\int \cos(2+\frac{x}{3}) dx$.

По формуле $\int \cos(kx+b) dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$, где $k=1/3, b=2$:$\frac{1}{\frac{1}{3}}\sin(2+\frac{x}{3}) + C_2 = 3\sin(2+\frac{x}{3}) + C_2$.

Суммируем полученные выражения:$F(x) = \sqrt{x-5} + 3\sin(2+\frac{x}{3}) + C$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{x-5} + 3\sin(2+\frac{x}{3}) + C$.

3) Найдём первообразную для функции $f(x) = \frac{3}{2\sqrt{3-4x}} + \frac{1}{(x+2)^3}$:$F(x) = \int (\frac{3}{2\sqrt{3-4x}} + \frac{1}{(x+2)^3}) dx = \int \frac{3}{2\sqrt{3-4x}} dx + \int \frac{1}{(x+2)^3} dx$.

Вычислим интегралы по отдельности.

Первый интеграл:$\int \frac{3}{2\sqrt{3-4x}} dx = \frac{3}{2} \int (3-4x)^{-\frac{1}{2}} dx$.

Используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, где $k=-4, b=3, n=-1/2$:$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{-4} \frac{(3-4x)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C_1 = -\frac{3}{8} \frac{(3-4x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = -\frac{3}{8} \cdot 2\sqrt{3-4x} + C_1 = -\frac{3}{4}\sqrt{3-4x} + C_1$.

Второй интеграл:$\int \frac{1}{(x+2)^3} dx = \int (x+2)^{-3} dx$.

Используем ту же формулу для $k=1, b=2, n=-3$:$\frac{(x+2)^{-3+1}}{-3+1} + C_2 = \frac{(x+2)^{-2}}{-2} + C_2 = -\frac{1}{2(x+2)^2} + C_2$.

Складываем результаты:$F(x) = -\frac{3}{4}\sqrt{3-4x} - \frac{1}{2(x+2)^2} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{3}{4}\sqrt{3-4x} - \frac{1}{2(x+2)^2} + C$.

4) Найдём первообразную для функции $f(x) = \frac{4}{5\sqrt{2+3x}} - \frac{1}{(2-x)^4}$:$F(x) = \int (\frac{4}{5\sqrt{2+3x}} - \frac{1}{(2-x)^4}) dx = \int \frac{4}{5\sqrt{2+3x}} dx - \int \frac{1}{(2-x)^4} dx$.

Вычислим каждый интеграл.

Первый интеграл:$\int \frac{4}{5\sqrt{2+3x}} dx = \frac{4}{5} \int (2+3x)^{-\frac{1}{2}} dx$.

Используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, где $k=3, b=2, n=-1/2$:$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} \frac{(2+3x)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C_1 = \frac{4}{15} \frac{(2+3x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = \frac{4}{15} \cdot 2\sqrt{2+3x} + C_1 = \frac{8}{15}\sqrt{2+3x} + C_1$.

Второй интеграл:$\int \frac{1}{(2-x)^4} dx = \int (2-x)^{-4} dx$.

Используем ту же формулу для $k=-1, b=2, n=-4$:$\frac{1}{-1} \frac{(2-x)^{-4+1}}{-4+1} + C_2 = -1 \cdot \frac{(2-x)^{-3}}{-3} + C_2 = \frac{1}{3(2-x)^3} + C_2$.

Вычитаем второй результат из первого:$F(x) = \frac{8}{15}\sqrt{2+3x} - \frac{1}{3(2-x)^3} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{8}{15}\sqrt{2+3x} - \frac{1}{3(2-x)^3} + C$.