Страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите неопределенный интеграл (1.17–1.18):

1.17. 1) $\int (0,75x^2 + \frac{x^9}{9}) dx;$

2) $\int (\frac{x^{-7}}{6} - 1,25x^4) dx;$

3) $\int (\frac{10}{\sqrt{5 + 2x}} - 3x^{-11}) dx;$

4) $\int (15x^{24} - \frac{28}{\sqrt{6 - 7x}}) dx.$

1) Найдем интеграл $\int (0.75x^2 + \frac{x^9}{9})dx$.

Используя свойство линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла), получаем:

$\int (0.75x^2 + \frac{x^9}{9})dx = \int 0.75x^2 dx + \int \frac{x^9}{9} dx = 0.75 \int x^2 dx + \frac{1}{9} \int x^9 dx$.

Теперь применим табличный интеграл для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$0.75 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{1}{9} \cdot \frac{x^{9+1}}{9+1} + C = 0.75 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1}{9} \cdot \frac{x^{10}}{10} + C$.

После упрощения получаем окончательный результат:

$0.25x^3 + \frac{x^{10}}{90} + C$.

Ответ: $0.25x^3 + \frac{x^{10}}{90} + C$.

2) Найдем интеграл $\int (\frac{x^{-7}}{6} - 1.25x^4)dx$.

По свойству линейности интеграла:

$\int (\frac{x^{-7}}{6} - 1.25x^4)dx = \int \frac{x^{-7}}{6} dx - \int 1.25x^4 dx = \frac{1}{6} \int x^{-7} dx - 1.25 \int x^4 dx$.

Используем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\frac{1}{6} \cdot \frac{x^{-7+1}}{-7+1} - 1.25 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{1}{6} \cdot \frac{x^{-6}}{-6} - 1.25 \cdot \frac{x^5}{5} + C$.

Упростим полученное выражение:

$-\frac{x^{-6}}{36} - 0.25x^5 + C$.

Ответ: $-\frac{x^{-6}}{36} - 0.25x^5 + C$.

3) Найдем интеграл $\int (\frac{10}{\sqrt{5+2x}} - 3x^{-11})dx$.

Разобьем интеграл на два, используя свойство линейности:

$\int \frac{10}{\sqrt{5+2x}}dx - \int 3x^{-11}dx = 10 \int (5+2x)^{-1/2}dx - 3 \int x^{-11}dx$.

Первый интеграл находится по формуле $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$, где $a=2, b=5, n=-1/2$.

Второй интеграл является табличным для степенной функции.

$10 \cdot \frac{(5+2x)^{-1/2+1}}{2(-1/2+1)} - 3 \cdot \frac{x^{-11+1}}{-11+1} + C = 10 \cdot \frac{(5+2x)^{1/2}}{2 \cdot 1/2} - 3 \cdot \frac{x^{-10}}{-10} + C$.

После упрощения получаем:

$10 \cdot (5+2x)^{1/2} + \frac{3}{10}x^{-10} + C = 10\sqrt{5+2x} + 0.3x^{-10} + C$.

Ответ: $10\sqrt{5+2x} + 0.3x^{-10} + C$.

4) Найдем интеграл $\int (15x^{24} - \frac{28}{\sqrt{6-7x}})dx$.

Используя свойство линейности, разделим интеграл на два:

$\int 15x^{24}dx - \int \frac{28}{\sqrt{6-7x}}dx = 15 \int x^{24}dx - 28 \int (6-7x)^{-1/2}dx$.

Первый интеграл — степенная функция. Второй интеграл находится по формуле $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$, где $a=-7, b=6, n=-1/2$.

$15 \cdot \frac{x^{24+1}}{24+1} - 28 \cdot \frac{(6-7x)^{-1/2+1}}{-7(-1/2+1)} + C = 15 \cdot \frac{x^{25}}{25} - 28 \cdot \frac{(6-7x)^{1/2}}{-7 \cdot 1/2} + C$.

Упрощаем выражение:

$\frac{3}{5}x^{25} - 28 \cdot \frac{\sqrt{6-7x}}{-7/2} + C = 0.6x^{25} + 28 \cdot \frac{2}{7}\sqrt{6-7x} + C = 0.6x^{25} + 8\sqrt{6-7x} + C$.

Ответ: $0.6x^{25} + 8\sqrt{6-7x} + C$.

1.18. 1) $ \int 18 \sin 6x dx;$

2) $ \int 27 \cos 9x dx;$

3) $ \int \frac{15}{\cos^2 10x} dx;$

4) $ \int \frac{20}{\sin^2 2,5x} dx.$

1) Для решения данного интеграла вынесем постоянный множитель 18 за знак интеграла и воспользуемся табличной формулой интегрирования $ \int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C $, где $C$ — произвольная постоянная.

$ \int 18 \sin(6x) dx = 18 \int \sin(6x) dx $

В нашем случае коэффициент $ k = 6 $. Подставляем его в формулу:

$ 18 \cdot \left(-\frac{1}{6}\cos(6x)\right) + C = -\frac{18}{6}\cos(6x) + C = -3\cos(6x) + C $.

Ответ: $ -3\cos(6x) + C $.

2) Для нахождения этого интеграла вынесем константу 27 за знак интеграла. Затем используем формулу $ \int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C $.

$ \int 27 \cos(9x) dx = 27 \int \cos(9x) dx $

Здесь коэффициент $ k = 9 $. Применяем формулу:

$ 27 \cdot \left(\frac{1}{9}\sin(9x)\right) + C = \frac{27}{9}\sin(9x) + C = 3\sin(9x) + C $.

Ответ: $ 3\sin(9x) + C $.

3) Вынесем постоянный множитель 15 за знак интеграла. Воспользуемся табличным интегралом $ \int \frac{dx}{\cos^2(kx)} = \frac{1}{k}\tan(kx) + C $.

$ \int \frac{15}{\cos^2(10x)} dx = 15 \int \frac{1}{\cos^2(10x)} dx $

В данном случае коэффициент $ k = 10 $. Подставляем в формулу:

$ 15 \cdot \left(\frac{1}{10}\tan(10x)\right) + C = \frac{15}{10}\tan(10x) + C = 1,5\tan(10x) + C $.

Ответ: $ 1,5\tan(10x) + C $.

4) Выносим константу 20. Используем табличный интеграл $ \int \frac{dx}{\sin^2(kx)} = -\frac{1}{k}\cot(kx) + C $.

$ \int \frac{20}{\sin^2(2,5x)} dx = 20 \int \frac{1}{\sin^2(2,5x)} dx $

Здесь коэффициент $ k = 2,5 $. Применяем формулу:

$ 20 \cdot \left(-\frac{1}{2,5}\cot(2,5x)\right) + C = -\frac{20}{2,5}\cot(2,5x) + C $

Так как $ \frac{20}{2,5} = \frac{200}{25} = 8 $, то получаем:

$ -8\cot(2,5x) + C $.

Ответ: $ -8\cot(2,5x) + C $.

Напишите общий вид первообразных для данных функций $y = f(x)$

(1.19–1.23):

1.19. 1) $f(x) = (2x + 3)^3$; 2) $f(x) = (3x - 2)^8$;

3) $f(x) = \sin(3x - 4)$; 4) $f(x) = \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right).$

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = (2x + 3)^3$ используется правило нахождения первообразной для функции вида $(kx+b)^n$: $F(x) = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. В нашем случае $k=2$, $b=3$ и $n=3$. Подставляя эти значения, получаем: $F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+3)^{3+1}}{3+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+3)^4}{4} + C = \frac{(2x+3)^4}{8} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{(2x+3)^4}{8} + C$.

2) Для функции $f(x) = (3x - 2)^8$ применяем ту же формулу, что и в предыдущем пункте. Здесь $k=3$, $b=-2$ и $n=8$. Тогда: $F(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-2)^{8+1}}{8+1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-2)^9}{9} + C = \frac{(3x-2)^9}{27} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{(3x-2)^9}{27} + C$.

3) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \sin(3x - 4)$ используется правило для функции вида $\sin(kx+b)$: $F(x) = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$. В данном случае $k=3$ и $b=-4$. Подставляя значение, получаем: $F(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x-4) + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x-4) + C$.

4) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \cos(2x + \frac{\pi}{3})$ используется правило для функции вида $\cos(kx+b)$: $F(x) = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$. Здесь $k=2$ и $b=\frac{\pi}{3}$. Подставляя значение, получаем: $F(x) = \frac{1}{2}\sin(2x + \frac{\pi}{3}) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}\sin(2x + \frac{\pi}{3}) + C$.

1.20. 1) $f(x) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{3} + 2x\right)}$;

2) $f(x) = \frac{1}{\sin^2\left(3x - \frac{\pi}{8}\right)}$;

3) $f(x) = 1 - \frac{5}{\sin^2\left(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{6}\right)}$;

4) $f(x) = 1 + \frac{6}{\cos^2\left(\frac{x}{6} - \frac{\pi}{5}\right)}$;

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{3} + 2x)}$. Для нахождения наименьшего положительного периода этой функции, определим период основной функции и учтем влияние коэффициента при аргументе.

Основной функцией является $y = \cos(u)$, ее период равен $2\pi$.

Для функции $y = \cos^2(u)$, период в два раза меньше, чем у $\cos(u)$, и равен $\pi$. Это можно проверить с помощью формулы понижения степени: $\cos^2(u) = \frac{1 + \cos(2u)}{2}$. Период функции $\cos(2u)$ равен $\frac{2\pi}{2} = \pi$.

В общем случае, для функции вида $g(kx + b)$, ее период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — период базовой функции $g(u)$.

В нашей задаче базовая функция — это $\cos^2(u)$ с периодом $T_0 = \pi$. Аргумент функции — $(\frac{\pi}{3} + 2x)$, следовательно, коэффициент $k=2$.

Таким образом, период функции $f(x)$ равен $T = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{\sin^2(3x - \frac{\pi}{8})}$.

Основной функцией является $y = \sin(u)$, ее период равен $2\pi$.

Для функции $y = \sin^2(u)$, период в два раза меньше, чем у $\sin(u)$, и равен $\pi$. Это следует из формулы понижения степени: $\sin^2(u) = \frac{1 - \cos(2u)}{2}$. Период функции $\cos(2u)$ равен $\frac{2\pi}{2} = \pi$.

Для функции вида $g(kx + b)$, ее период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — период базовой функции $g(u)$.

В данной задаче базовая функция — это $\sin^2(u)$ с периодом $T_0 = \pi$. Аргумент функции — $(3x - \frac{\pi}{8})$, следовательно, коэффициент $k=3$.

Таким образом, период функции $f(x)$ равен $T = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

3) Дана функция $f(x) = 1 - \frac{5}{\sin^2(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{6})}$.

Операции сложения с константой (1) и умножения на константу (-5) не влияют на период функции. Поэтому период функции $f(x)$ совпадает с периодом функции $y = \frac{1}{\sin^2(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{6})}$.

Период функции $y = \sin^2(u)$ равен $\pi$.

Период функции вида $g(kx + b)$ равен $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — период базовой функции $g(u)$.

В нашем случае базовая функция — $\sin^2(u)$ с периодом $T_0 = \pi$. Аргумент — $(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{6})$, следовательно, коэффициент $k=\frac{1}{5}$.

Таким образом, период функции $f(x)$ равен $T = \frac{\pi}{|\frac{1}{5}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{5}} = 5\pi$.

Ответ: $5\pi$.

4) Дана функция $f(x) = 1 + \frac{6}{\cos^2(\frac{x}{6} - \frac{\pi}{5})}$.

Операции сложения с константой (1) и умножения на константу (6) не влияют на период функции. Период $f(x)$ определяется периодической частью $y = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{6} - \frac{\pi}{5})}$.

Период функции $y = \cos^2(u)$ равен $\pi$.

Период функции вида $g(kx + b)$ равен $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — период базовой функции $g(u)$.

В нашем случае базовая функция — $\cos^2(u)$ с периодом $T_0 = \pi$. Аргумент — $(\frac{x}{6} - \frac{\pi}{5})$, следовательно, коэффициент $k=\frac{1}{6}$.

Таким образом, период функции $f(x)$ равен $T = \frac{\pi}{|\frac{1}{6}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{6}} = 6\pi$.

Ответ: $6\pi$.

1.21. 1) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}} + \sin\left(3 - \frac{x}{4}\right);$

2) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-5}} + \cos\left(2 + \frac{x}{3}\right);$

3) $f(x) = \frac{3}{2\sqrt{3-4x}} + \frac{1}{(x+2)^3};$

4) $f(x) = \frac{4}{5\sqrt{2+3x}} - \frac{1}{(2-x)^4}.$

1) Для нахождения всех первообразных $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}} + \sin(3-\frac{x}{4})$ необходимо найти неопределенный интеграл от этой функции:$F(x) = \int (\frac{1}{\sqrt{x+2}} + \sin(3-\frac{x}{4})) dx$.

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции:$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{x+2}} dx + \int \sin(3-\frac{x}{4}) dx$.

Найдем каждый интеграл по отдельности.

Первый интеграл можно представить в виде степенной функции:$\int \frac{1}{\sqrt{x+2}} dx = \int (x+2)^{-\frac{1}{2}} dx$.

Используем табличный интеграл для степенной функции $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $u=x+2$, $du=dx$ и $n = -1/2$.$\int (x+2)^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{(x+2)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C_1 = \frac{(x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = 2\sqrt{x+2} + C_1$.

Второй интеграл:$\int \sin(3-\frac{x}{4}) dx$.

Используем формулу интегрирования $\int \sin(kx+b) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$. Здесь $k = -1/4$ и $b=3$.$\int \sin(3-\frac{x}{4}) dx = -\frac{1}{-\frac{1}{4}}\cos(3-\frac{x}{4}) + C_2 = 4\cos(3-\frac{x}{4}) + C_2$.

Объединяем результаты и общую константу $C = C_1 + C_2$:$F(x) = 2\sqrt{x+2} + 4\cos(3-\frac{x}{4}) + C$.

Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x+2} + 4\cos(3-\frac{x}{4}) + C$.

2) Найдём первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-5}} + \cos(2+\frac{x}{3})$, вычислив её интеграл:$F(x) = \int (\frac{1}{2\sqrt{x-5}} + \cos(2+\frac{x}{3})) dx = \int \frac{1}{2\sqrt{x-5}} dx + \int \cos(2+\frac{x}{3}) dx$.

Вычислим каждый интеграл.

Первый интеграл:$\int \frac{1}{2\sqrt{x-5}} dx = \frac{1}{2} \int (x-5)^{-\frac{1}{2}} dx$.

По формуле $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, где $k=1, b=-5, n=-1/2$:$\frac{1}{2} \frac{(x-5)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C_1 = \frac{1}{2} \frac{(x-5)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = \sqrt{x-5} + C_1$.

Второй интеграл:$\int \cos(2+\frac{x}{3}) dx$.

По формуле $\int \cos(kx+b) dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$, где $k=1/3, b=2$:$\frac{1}{\frac{1}{3}}\sin(2+\frac{x}{3}) + C_2 = 3\sin(2+\frac{x}{3}) + C_2$.

Суммируем полученные выражения:$F(x) = \sqrt{x-5} + 3\sin(2+\frac{x}{3}) + C$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{x-5} + 3\sin(2+\frac{x}{3}) + C$.

3) Найдём первообразную для функции $f(x) = \frac{3}{2\sqrt{3-4x}} + \frac{1}{(x+2)^3}$:$F(x) = \int (\frac{3}{2\sqrt{3-4x}} + \frac{1}{(x+2)^3}) dx = \int \frac{3}{2\sqrt{3-4x}} dx + \int \frac{1}{(x+2)^3} dx$.

Вычислим интегралы по отдельности.

Первый интеграл:$\int \frac{3}{2\sqrt{3-4x}} dx = \frac{3}{2} \int (3-4x)^{-\frac{1}{2}} dx$.

Используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, где $k=-4, b=3, n=-1/2$:$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{-4} \frac{(3-4x)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C_1 = -\frac{3}{8} \frac{(3-4x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = -\frac{3}{8} \cdot 2\sqrt{3-4x} + C_1 = -\frac{3}{4}\sqrt{3-4x} + C_1$.

Второй интеграл:$\int \frac{1}{(x+2)^3} dx = \int (x+2)^{-3} dx$.

Используем ту же формулу для $k=1, b=2, n=-3$:$\frac{(x+2)^{-3+1}}{-3+1} + C_2 = \frac{(x+2)^{-2}}{-2} + C_2 = -\frac{1}{2(x+2)^2} + C_2$.

Складываем результаты:$F(x) = -\frac{3}{4}\sqrt{3-4x} - \frac{1}{2(x+2)^2} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{3}{4}\sqrt{3-4x} - \frac{1}{2(x+2)^2} + C$.

4) Найдём первообразную для функции $f(x) = \frac{4}{5\sqrt{2+3x}} - \frac{1}{(2-x)^4}$:$F(x) = \int (\frac{4}{5\sqrt{2+3x}} - \frac{1}{(2-x)^4}) dx = \int \frac{4}{5\sqrt{2+3x}} dx - \int \frac{1}{(2-x)^4} dx$.

Вычислим каждый интеграл.

Первый интеграл:$\int \frac{4}{5\sqrt{2+3x}} dx = \frac{4}{5} \int (2+3x)^{-\frac{1}{2}} dx$.

Используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, где $k=3, b=2, n=-1/2$:$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} \frac{(2+3x)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C_1 = \frac{4}{15} \frac{(2+3x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = \frac{4}{15} \cdot 2\sqrt{2+3x} + C_1 = \frac{8}{15}\sqrt{2+3x} + C_1$.

Второй интеграл:$\int \frac{1}{(2-x)^4} dx = \int (2-x)^{-4} dx$.

Используем ту же формулу для $k=-1, b=2, n=-4$:$\frac{1}{-1} \frac{(2-x)^{-4+1}}{-4+1} + C_2 = -1 \cdot \frac{(2-x)^{-3}}{-3} + C_2 = \frac{1}{3(2-x)^3} + C_2$.

Вычитаем второй результат из первого:$F(x) = \frac{8}{15}\sqrt{2+3x} - \frac{1}{3(2-x)^3} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{8}{15}\sqrt{2+3x} - \frac{1}{3(2-x)^3} + C$.

1.22. 1) $f(x) = \cos^2 \frac{x}{3} - \sin^2 \frac{x}{3}$;

2) $f(x) = \sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{4}$;

3) $f(x) = \operatorname{tg} \frac{x}{8} \cdot \operatorname{ctg} \frac{x}{8} + x^2$;

4) $f(x) = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{6}$.

1) Для упрощения функции $f(x) = \cos^2\frac{x}{3} - \sin^2\frac{x}{3}$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

В данном случае $\alpha = \frac{x}{3}$, следовательно, $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{3} = \frac{2x}{3}$.

Подставив значение $\alpha$ в формулу, получаем:$f(x) = \cos(2 \cdot \frac{x}{3}) = \cos(\frac{2x}{3})$.

Ответ: $f(x) = \cos(\frac{2x}{3})$.

2) Для упрощения функции $f(x) = \sin\frac{x}{4} \cdot \cos\frac{x}{4}$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Из этой формулы следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

В данном случае $\alpha = \frac{x}{4}$, следовательно, $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{4} = \frac{x}{2}$.

Подставив значение $\alpha$ в преобразованную формулу, получаем:$f(x) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{x}{4}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})$.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})$.

3) Для функции $f(x) = \text{tg}\frac{x}{8} \cdot \text{ctg}\frac{x}{8} + x^2$ используем основное тригонометрическое тождество $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$.

Это тождество справедливо при условии, что $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k$ - целое число, так как при этих значениях тангенс или котангенс не определены.

В нашем случае $\alpha = \frac{x}{8}$, значит, условие существования выражения $\text{tg}\frac{x}{8} \cdot \text{ctg}\frac{x}{8}$ таково: $\frac{x}{8} \neq \frac{\pi k}{2}$, или $x \neq 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

При выполнении этого условия, $\text{tg}\frac{x}{8} \cdot \text{ctg}\frac{x}{8} = 1$.

Таким образом, функция упрощается до $f(x) = 1 + x^2$.

Ответ: $f(x) = 1 + x^2$ при $x \neq 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Для упрощения функции $f(x) = 1 - 2\sin^2\frac{x}{6}$ воспользуемся одной из форм формулы косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

В данном случае $\alpha = \frac{x}{6}$, следовательно, $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{6} = \frac{x}{3}$.

Подставив значение $\alpha$ в формулу, получаем:$f(x) = \cos(2 \cdot \frac{x}{6}) = \cos(\frac{x}{3})$.

Ответ: $f(x) = \cos(\frac{x}{3})$.

1.23. 1) $f(x) = \cos^2x;$

2) $f(x) = \sin^2x;$

3) $f(x) = \cos\frac{x}{4} \sin\frac{\pi}{9} - \sin\frac{x}{4} \cos\frac{\pi}{9};$

4) $f(x) = \sin\frac{x}{5} \cdot \sin\frac{\pi}{10} - \cos\frac{x}{5} \cdot \cos\frac{\pi}{10}.$

1) Чтобы найти основной период функции $f(x) = \cos^2 x$, воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.Применив эту формулу, получим:$f(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$.Основной период функции $\cos(y)$ равен $2\pi$. Для функции вида $g(x) = A\cos(kx+b)+C$ основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.В нашем случае $k=2$, поэтому основной период функции $f(x)$ равен:$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.Сложение с константой $\frac{1}{2}$ и умножение на константу $\frac{1}{2}$ не влияют на период.Ответ: $\pi$.

2) Для нахождения основного периода функции $f(x) = \sin^2 x$ используем формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.Преобразуем функцию:$f(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$.Эта функция, как и в предыдущем примере, основана на $\cos(2x)$. Основной период функции $\cos(y)$ равен $2\pi$. Период функции вида $g(x) = A\cos(kx+b)+C$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.Здесь коэффициент $k=2$, следовательно, основной период равен:$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.Ответ: $\pi$.

3) Для упрощения функции $f(x) = \cos\frac{x}{4} \sin\frac{\pi}{9} - \sin\frac{x}{4} \cos\frac{\pi}{9}$ воспользуемся тригонометрической формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.В нашем выражении поменяны местами синус и косинус первого аргумента с косинусом и синусом второго. Представим его в виде $\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{x}{4} - \cos\frac{\pi}{9}\sin\frac{x}{4}$.Пусть $\alpha = \frac{\pi}{9}$ и $\beta = \frac{x}{4}$. Тогда функция принимает вид:$f(x) = \sin(\frac{\pi}{9} - \frac{x}{4})$.Основной период функции $\sin(y)$ равен $2\pi$. Для функции вида $g(x) = A\sin(kx+b)+C$ основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.В данном случае коэффициент при $x$ равен $k = -\frac{1}{4}$.Следовательно, основной период функции $f(x)$ равен:$T = \frac{2\pi}{|-1/4|} = \frac{2\pi}{1/4} = 8\pi$.Ответ: $8\pi$.

4) Рассмотрим функцию $f(x) = \sin\frac{x}{5} \sin\frac{\pi}{10} - \cos\frac{x}{5} \cos\frac{\pi}{10}$.Это выражение похоже на формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.Вынесем знак минус за скобки, чтобы привести функцию к стандартному виду формулы:$f(x) = -(\cos\frac{x}{5} \cos\frac{\pi}{10} - \sin\frac{x}{5} \sin\frac{\pi}{10})$.Пусть $\alpha = \frac{x}{5}$ и $\beta = \frac{\pi}{10}$. Тогда:$f(x) = -\cos(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{10})$.Основной период функции $\cos(y)$ равен $2\pi$. Для функции вида $g(x) = A\cos(kx+b)+C$ основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{5}$.Таким образом, основной период функции $f(x)$ равен:$T = \frac{2\pi}{|1/5|} = \frac{2\pi}{1/5} = 10\pi$.Ответ: $10\pi$.

Найдите первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, удовлетворяющую условию $F(a) = b$ (1.24–1.25):

1.24. 1) $f(x) = \frac{2}{(2x+5)^2}$, $F(-2) = \frac{1}{2}$;

2) $f(x) = \frac{1}{\left(\frac{x}{2}+3\right)^3}$, $F(-4) = 3$.

1)

Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{2}{(2x+5)^2}$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от $f(x)$.

$F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{2}{(2x+5)^2} dx$.

Это табличный интеграл вида $\int \frac{k}{(kx+b)^n} dx$. В нашем случае, можно вынести константу 2 за знак интеграла и использовать замену переменной. Пусть $u = 2x+5$, тогда $du = 2 dx$.

Подставим в интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{u^2} du = \int u^{-2} du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $u = 2x+5$:

$F(x) = -\frac{1}{2x+5} + C$.

Это общий вид первообразной. Чтобы найти конкретную первообразную, удовлетворяющую условию $F(-2) = \frac{1}{2}$, подставим $x = -2$ в полученное выражение:

$F(-2) = -\frac{1}{2(-2)+5} + C = -\frac{1}{-4+5} + C = -\frac{1}{1} + C = -1 + C$.

Согласно условию, $F(-2) = \frac{1}{2}$, поэтому мы можем составить уравнение для нахождения $C$:

$-1 + C = \frac{1}{2}$

$C = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем итоговый ответ.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x+5} + \frac{3}{2}$.

2)

Найдем первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^3}$ путем интегрирования:

$F(x) = \int \frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^3} dx = \int (\frac{x}{2}+3)^{-3} dx$.

Применим метод замены переменной. Пусть $u = \frac{x}{2}+3$. Тогда $du = \frac{1}{2} dx$, откуда $dx = 2 du$.

Подставим в интеграл:

$F(x) = \int u^{-3} (2 du) = 2 \int u^{-3} du = 2 \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -u^{-2} + C = -\frac{1}{u^2} + C$.

Выполним обратную замену $u = \frac{x}{2}+3$:

$F(x) = -\frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^2} + C$.

Это общий вид первообразной. Используем заданное условие $F(-4) = 3$ для определения константы $C$. Подставим $x = -4$:

$F(-4) = -\frac{1}{(\frac{-4}{2}+3)^2} + C = -\frac{1}{(-2+3)^2} + C = -\frac{1}{1^2} + C = -1 + C$.

Из условия $F(-4) = 3$ следует уравнение:

$-1 + C = 3$

$C = 3 + 1 = 4$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^2} + 4$.