Номер 1.11, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.11. 1) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{2x + 1}}$, M(4; 5);

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 3x}}$, M(0; $\frac{2}{3}$);

3) $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$, M($\frac{\pi}{4}$; 2);

4) $f(x) = \frac{2}{\sin^2 x}$, M($\frac{\pi}{4}$; 3).

1)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{2}{\sqrt{2x+1}}$, график которой проходит через заданную точку $M(4; 5)$.

Сначала находим общий вид первообразной путем вычисления неопределенного интеграла от функции $f(x)$:

$F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{2}{\sqrt{2x+1}} dx = 2 \int (2x+1)^{-1/2} dx$.

Используя формулу для интеграла степенной функции сложного аргумента $\int(ax+b)^n dx = \frac{1}{a}\frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{(2x+1)^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{2x+1} + C$.

Таким образом, общий вид первообразной: $F(x) = 2\sqrt{2x+1} + C$.

Далее, чтобы найти значение константы $C$, используем условие, что график проходит через точку $M(4; 5)$, то есть $F(4)=5$.

Подставляем $x=4$ и $y=5$ в уравнение для $F(x)$:

$5 = 2\sqrt{2 \cdot 4 + 1} + C$

$5 = 2\sqrt{8 + 1} + C$

$5 = 2\sqrt{9} + C$

$5 = 2 \cdot 3 + C$

$5 = 6 + C$

$C = 5 - 6 = -1$.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = 2\sqrt{2x+1} - 1$.

Ответ: $F(x) = 2\sqrt{2x+1} - 1$.

2)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-3x}}$, график которой проходит через заданную точку $M(0; \frac{2}{3})$.

Сначала находим общий вид первообразной путем вычисления неопределенного интеграла от функции $f(x)$:

$F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-3x}} dx = \int (1-3x)^{-1/2} dx$.

Используя формулу $\int(ax+b)^n dx = \frac{1}{a}\frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(1-3x)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(1-3x)^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + C$.

Таким образом, общий вид первообразной: $F(x) = -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + C$.

Далее, чтобы найти значение константы $C$, используем условие, что график проходит через точку $M(0; \frac{2}{3})$, то есть $F(0)=\frac{2}{3}$.

Подставляем $x=0$ и $y=\frac{2}{3}$ в уравнение для $F(x)$:

$\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}\sqrt{1 - 3 \cdot 0} + C$

$\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}\sqrt{1} + C$

$\frac{2}{3} = -\frac{2}{3} + C$

$C = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + \frac{4}{3}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + \frac{4}{3}$.

3)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{3}{\cos^2 x}$, график которой проходит через заданную точку $M(\frac{\pi}{4}; 2)$.

Сначала находим общий вид первообразной. Мы знаем, что $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$.

$F(x) = \int \frac{3}{\cos^2 x} dx = 3 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = 3 \tan x + C$.

Таким образом, общий вид первообразной: $F(x) = 3 \tan x + C$.

Далее, чтобы найти значение константы $C$, используем условие, что график проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; 2)$, то есть $F(\frac{\pi}{4})=2$.

Подставляем $x=\frac{\pi}{4}$ и $y=2$ в уравнение для $F(x)$:

$2 = 3 \tan(\frac{\pi}{4}) + C$

Так как $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$2 = 3 \cdot 1 + C$

$2 = 3 + C$

$C = 2 - 3 = -1$.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = 3 \tan x - 1$.

Ответ: $F(x) = 3 \tan x - 1$.

4)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{2}{\sin^2 x}$, график которой проходит через заданную точку $M(\frac{\pi}{4}; 3)$.

Сначала находим общий вид первообразной. Мы знаем, что $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.

$F(x) = \int \frac{2}{\sin^2 x} dx = 2 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -2 \cot x + C$.

Таким образом, общий вид первообразной: $F(x) = -2 \cot x + C$.

Далее, чтобы найти значение константы $C$, используем условие, что график проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; 3)$, то есть $F(\frac{\pi}{4})=3$.

Подставляем $x=\frac{\pi}{4}$ и $y=3$ в уравнение для $F(x)$:

$3 = -2 \cot(\frac{\pi}{4}) + C$

Так как $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$3 = -2 \cdot 1 + C$

$3 = -2 + C$

$C = 3 + 2 = 5$.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = -2 \cot x + 5$.

Ответ: $F(x) = -2 \cot x + 5$.