Номер 1.8, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите неопределенные интегралы (1.8–1.9);

1.8. 1) $ \int x^{21}dx; $

2) $ \int x^{-15}dx; $

3) $ \int \frac{1}{4\sqrt{x}}dx; $

4) $ \int \frac{5}{\sin^2 x}dx. $

1) Для нахождения этого интеграла воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

В данном случае показатель степени $n = 21$.

Подставляем значение в формулу: $\int x^{21} dx = \frac{x^{21+1}}{21+1} + C = \frac{x^{22}}{22} + C$.

Ответ: $\frac{x^{22}}{22} + C$.

2) Этот интеграл также является интегралом от степенной функции. Применим ту же формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Здесь показатель степени $n = -15$.

Подставляем значение в формулу: $\int x^{-15} dx = \frac{x^{-15+1}}{-15+1} + C = \frac{x^{-14}}{-14} + C = -\frac{1}{14x^{14}} + C$.

Ответ: $-\frac{1}{14x^{14}} + C$.

3) Сначала преобразуем подынтегральное выражение. Вынесем постоянный множитель $\frac{1}{4}$ за знак интеграла и представим корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.

$\int \frac{1}{4\sqrt{x}} dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{1/2}} dx = \frac{1}{4} \int x^{-1/2} dx$.

Теперь применяем формулу для интегрирования степенной функции, где $n = -1/2$:

$\frac{1}{4} \int x^{-1/2} dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$.

Упростим полученное выражение:

$\frac{1}{4} \cdot 2x^{1/2} + C = \frac{2}{4}x^{1/2} + C = \frac{1}{2}x^{1/2} + C = \frac{\sqrt{x}}{2} + C$.

Ответ: $\frac{\sqrt{x}}{2} + C$.

4) Вынесем постоянный множитель 5 за знак интеграла:

$\int \frac{5}{\sin^2 x} dx = 5 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx$.

Интеграл $\int \frac{dx}{\sin^2 x}$ является табличным. Вспомним, что производная от котангенса равна $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$. Следовательно, первообразной для функции $\frac{1}{\sin^2 x}$ будет функция $-\cot x$.

Таким образом, получаем:

$5 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = 5(-\cot x) + C = -5\cot x + C$.

Ответ: $-5\cot x + C$.