Номер 1.2, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.2. 1)
$F(x) = 3\sin x + \frac{2}{x}$, $f(x) = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$, $x \in (-\infty; 0);$

2) $F(x) = 2\cos x - \frac{3}{x}$, $f(x) = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$, $x \in (0; +\infty).$

Чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$. Если $F'(x) = f(x)$ на данном промежутке, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

1) Даны функции $F(x) = 3\sin x + \frac{2}{x}$ и $f(x) = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$ на промежутке $x \in (-\infty; 0)$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (3\sin x + \frac{2}{x})' = (3\sin x)' + (2x^{-1})' = 3\cos x + 2 \cdot (-1)x^{-1-1} = 3\cos x - 2x^{-2} = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$.

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$ и $f(x) = 3\cos x - \frac{2}{x^2}$.

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из промежутка $(-\infty; 0)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да, является.

2) Даны функции $F(x) = 2\cos x - \frac{3}{x}$ и $f(x) = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$ на промежутке $x \in (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (2\cos x - \frac{3}{x})' = (2\cos x)' - (3x^{-1})' = 2(-\sin x) - 3 \cdot (-1)x^{-1-1} = -2\sin x + 3x^{-2} = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$.

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$ и $f(x) = -2\sin x + \frac{3}{x^2}$.

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из промежутка $(0; +\infty)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да, является.