Номер 5.4, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.4. 1) $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$;

2) $\sqrt[4]{\frac{625}{81}}$;

3) $\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$;

4) $\sqrt[4]{\frac{256}{81}}$.

1) Для вычисления выражения $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$ воспользуемся свойством корня из дроби, которое гласит, что корень из частного равен частному корней: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

Применим это свойство: $\sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}$.

Далее, вычислим кубический корень из числителя и знаменателя. Представим подкоренные выражения в виде кубов чисел:

$27 = 3^3$

$64 = 4^3$

Теперь извлечение корня становится очевидным:

$\frac{\sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[3]{4^3}} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

2) Аналогично предыдущему примеру, для вычисления $\sqrt[4]{\frac{625}{81}}$ применим свойство корня из дроби: $\sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{81}}$.

Представим числа 625 и 81 в виде четвертой степени некоторых чисел:

$625 = 5^4$ (поскольку $5 \times 5 = 25$, $25 \times 5 = 125$, $125 \times 5 = 625$)

$81 = 3^4$ (поскольку $3 \times 3 = 9$, $9 \times 3 = 27$, $27 \times 3 = 81$)

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{\sqrt[4]{5^4}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{5}{3}$.

Ответ можно также записать в виде смешанной дроби $1\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

3) Для вычисления корня нечетной степени из отрицательного числа $\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$ можно вынести знак минус за знак корня: $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$.

$\sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$.

Теперь, как и ранее, применяем свойство корня из дроби:

$-\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$.

Находим кубические корни из числителя и знаменателя:

$\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$

$\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$

Подставляем найденные значения, не забывая про знак минус:

$-\frac{3}{2}$.

Ответ можно представить в виде десятичной дроби $-1.5$ или смешанной дроби $-1\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$.

4) Для вычисления выражения $\sqrt[4]{\frac{256}{81}}$ снова используем свойство корня из дроби: $\sqrt[4]{\frac{256}{81}} = \frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{81}}$.

Найдем, какие числа в четвертой степени дают 256 и 81.

Для знаменателя мы уже знаем, что $81 = 3^4$.

Для числителя: $4^4 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 16 = 256$.

Таким образом, $\sqrt[4]{256}=4$ и $\sqrt[4]{81}=3$.

Подставляем значения в дробь:

$\frac{\sqrt[4]{4^4}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{4}{3}$.

Этот ответ можно записать в виде смешанной дроби $1\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.