Страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.13. Упростите:

1) $\frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} + b^{\frac{1}{2}}, a > 0, b > 0;$

2) $\frac{x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}}, x \ne y;$

3) $\left(a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{3}{2}} - \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}}, a > 0, b > 0;$

4) $\left(a \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}} + b \cdot \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}} - 2(ab)^{\frac{1}{2}}\right) \cdot (ab)^{\frac{1}{2}}, a > 0, b > 0.$

1)

Представим числитель дроби $a - b$ как разность квадратов, используя свойство $x = (x^{\frac{1}{2}})^2$.

$a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$

Подставим это выражение в исходное:

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} + b^{\frac{1}{2}}$

Сократим дробь на $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$:

$(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) + b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $a^{\frac{1}{2}}$

2)

Представим числитель дроби $x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}}$ как разность квадратов, так как $x^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2$ и $y^{\frac{2}{3}} = (y^{\frac{1}{3}})^2$.

$x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2 - (y^{\frac{1}{3}})^2 = (x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$

Подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}}$

Так как $x \neq y$, то $x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}} \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})$:

$x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}$

3)

Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $(\frac{b}{a})^{\frac{1}{2}}$.

$(\frac{b}{a})^{\frac{1}{2}} = \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$

$(a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{2}} - (\frac{a}{b})^{\frac{1}{2}}) \cdot (\frac{b}{a})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$

Упростим каждый член по отдельности, используя свойства степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Первый член: $a^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = a^1 \cdot b^1 = ab$

Второй член: $a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}} = a^0 \cdot b^2 = 1 \cdot b^2 = b^2$

Третий член: $\frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}}} = 1$

Соберем все вместе:

$ab + b^2 - 1$

Ответ: $ab + b^2 - 1$

4)

Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $(ab)^{\frac{1}{2}}$.

$(a(\frac{a}{b})^{\frac{1}{2}} + b(\frac{b}{a})^{\frac{1}{2}} - 2(ab)^{\frac{1}{2}}) \cdot (ab)^{\frac{1}{2}} = a(\frac{a}{b})^{\frac{1}{2}}(ab)^{\frac{1}{2}} + b(\frac{b}{a})^{\frac{1}{2}}(ab)^{\frac{1}{2}} - 2(ab)^{\frac{1}{2}}(ab)^{\frac{1}{2}}$

Упростим каждый член по отдельности:

Первый член: $a \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}} \cdot a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}} = a \cdot a^1 \cdot 1 = a^2$

Второй член: $b \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} \cdot a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = b \cdot b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = b \cdot b^1 \cdot 1 = b^2$

Третий член: $-2((ab)^{\frac{1}{2}})^2 = -2ab$

Соберем все вместе:

$a^2 + b^2 - 2ab$

Это формула квадрата разности:

$(a-b)^2$

Ответ: $(a - b)^2$

Вычислите (6.14—6.15):

6.14. 1)

$ \frac{4 - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{\left(24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}\right)^2} $;

2)

$ \frac{\left(24^{\frac{1}{4}} + 6^{\frac{1}{4}}\right)^2}{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 6^{\frac{1}{2}}} $;

3)

$ \frac{\left(9^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{1}{2}}\right)^2}{3^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{6}} + 1} $;

4)

$ \frac{1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{4}} + 5^{\frac{1}{2}}}{\left(5^{\frac{1}{2}} - 5^{\frac{1}{4}}\right)^2} $.

1) Исходное выражение: $ \frac{4 - 3 \cdot 2^{1/2}}{(2^{1/4} - 8^{1/4})^2} $.

Сначала упростим знаменатель. Для этого представим $8$ как степень $2$: $8 = 2^3$.

$ (2^{1/4} - 8^{1/4})^2 = (2^{1/4} - (2^3)^{1/4})^2 = (2^{1/4} - 2^{3/4})^2 $.

Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$ (2^{1/4})^2 - 2 \cdot 2^{1/4} \cdot 2^{3/4} + (2^{3/4})^2 = 2^{2/4} - 2 \cdot 2^{1/4+3/4} + 2^{6/4} = 2^{1/2} - 2 \cdot 2^1 + 2^{3/2} $.

Упростим полученное выражение:

$ \sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 4 $.

Теперь подставим упрощенный знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{4 - 3 \cdot 2^{1/2}}{3\sqrt{2} - 4} = \frac{4 - 3\sqrt{2}}{3\sqrt{2} - 4} $.

Вынесем $-1$ в числителе:

$ \frac{-(3\sqrt{2} - 4)}{3\sqrt{2} - 4} = -1 $.

Ответ: -1

2) Исходное выражение: $ \frac{(24^{1/4} + 6^{1/4})^2}{4 \cdot 3^{1/2} + 3 \cdot 6^{1/2}} $.

Раскроем квадрат в числителе, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$ (24^{1/4} + 6^{1/4})^2 = (24^{1/4})^2 + 2 \cdot 24^{1/4} \cdot 6^{1/4} + (6^{1/4})^2 = 24^{1/2} + 2 \cdot (24 \cdot 6)^{1/4} + 6^{1/2} $.

Упростим полученное выражение:

$ \sqrt{24} + 2 \cdot (144)^{1/4} + \sqrt{6} = \sqrt{4 \cdot 6} + 2 \cdot (12^2)^{1/4} + \sqrt{6} = 2\sqrt{6} + 2 \cdot 12^{2/4} + \sqrt{6} = 3\sqrt{6} + 2\sqrt{12} = 3\sqrt{6} + 2\sqrt{4 \cdot 3} = 3\sqrt{6} + 4\sqrt{3} $.

Упростим знаменатель:

$ 4 \cdot 3^{1/2} + 3 \cdot 6^{1/2} = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{6} $.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$ \frac{3\sqrt{6} + 4\sqrt{3}}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}} = 1 $.

Ответ: 1

3) Исходное выражение: $ \frac{(9^{1/3} + 3^{1/2})^2}{3^{1/3} + 2 \cdot 3^{1/6} + 1} $.

Рассмотрим знаменатель. Заметим, что он представляет собой формулу полного квадрата $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$ 3^{1/3} + 2 \cdot 3^{1/6} + 1 = (3^{1/6})^2 + 2 \cdot 3^{1/6} \cdot 1 + 1^2 = (3^{1/6} + 1)^2 $.

Теперь упростим выражение в скобках в числителе. Представим $9$ как $3^2$ и приведем степени к общему знаменателю $6$:

$ 9^{1/3} + 3^{1/2} = (3^2)^{1/3} + 3^{1/2} = 3^{2/3} + 3^{1/2} = 3^{4/6} + 3^{3/6} $.

Вынесем общий множитель $3^{3/6}$:

$ 3^{3/6}(3^{4/6 - 3/6} + 1) = 3^{1/2}(3^{1/6} + 1) $.

Теперь возведем это выражение в квадрат, чтобы получить числитель:

$ (3^{1/2}(3^{1/6} + 1))^2 = (3^{1/2})^2 (3^{1/6} + 1)^2 = 3(3^{1/6} + 1)^2 $.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$ \frac{3(3^{1/6} + 1)^2}{(3^{1/6} + 1)^2} = 3 $.

Ответ: 3

4) Исходное выражение: $ \frac{1 - 2 \cdot 5^{1/4} + 5^{1/2}}{(5^{1/2} - 5^{3/4})^2} $.

Рассмотрим числитель. Заметим, что он является полным квадратом $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$ 1 - 2 \cdot 5^{1/4} + 5^{1/2} = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 5^{1/4} + (5^{1/4})^2 = (1 - 5^{1/4})^2 $.

Теперь упростим знаменатель. Вынесем в скобках общий множитель с наименьшим показателем, то есть $5^{1/2}$:

$ (5^{1/2} - 5^{3/4})^2 = (5^{2/4}(1 - 5^{3/4-2/4}))^2 = (5^{1/2}(1 - 5^{1/4}))^2 $.

Возведем в квадрат:

$ (5^{1/2})^2 (1 - 5^{1/4})^2 = 5 \cdot (1 - 5^{1/4})^2 $.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$ \frac{(1 - 5^{1/4})^2}{5(1 - 5^{1/4})^2} $.

Сократим дробь на $(1 - 5^{1/4})^2$, так как это выражение не равно нулю:

$ \frac{1}{5} $.

Ответ: 1/5

6.15. 1) $\left( \frac{1}{13^{\frac{1}{2}} - 17^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{17^{\frac{1}{2}} + 13^{\frac{1}{2}}} \right) \cdot 13^{\frac{1}{2}};$

2) $\left( \frac{5}{6^{\frac{1}{2}} + 11} + \frac{5}{6^{\frac{1}{2}} - 11} \right) \cdot 0,1 \cdot 6^{\frac{1}{2}};$

3) $\left( 8 - 28^{\frac{1}{2}} \right)^{-1} + \left( 8 + 28^{\frac{1}{2}} \right)^{-1};$

4) $\left( 6 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \right)^{-1} + \left( 6 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \right)^{-1}.$

1)

Исходное выражение: $(\frac{1}{\frac{1}{13^2} - \frac{1}{17^2}} + \frac{1}{\frac{1}{17^2} + \frac{1}{13^2}}) \cdot 13^{\frac{1}{2}}$.

Сначала упростим выражение в скобках. Обозначим $x = 13^2$ и $y = 17^2$.

Выражение в скобках принимает вид: $\frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} + \frac{1}{\frac{1}{y} + \frac{1}{x}}$.

Упростим каждую дробь отдельно:

$\frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = \frac{1}{\frac{y-x}{xy}} = \frac{xy}{y-x}$.

$\frac{1}{\frac{1}{y} + \frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x+y}{xy}} = \frac{xy}{x+y}$.

Теперь сложим эти две дроби:

$\frac{xy}{y-x} + \frac{xy}{y+x} = xy \cdot (\frac{1}{y-x} + \frac{1}{y+x}) = xy \cdot \frac{y+x+y-x}{(y-x)(y+x)} = xy \cdot \frac{2y}{y^2-x^2} = \frac{2xy^2}{y^2-x^2}$.

Подставим обратно $x = 13^2$ и $y = 17^2$:

$\frac{2 \cdot 13^2 \cdot (17^2)^2}{(17^2)^2 - (13^2)^2} = \frac{2 \cdot 13^2 \cdot 17^4}{17^4 - 13^4}$.

Теперь умножим результат на $13^{\frac{1}{2}} = \sqrt{13}$:

$\frac{2 \cdot 13^2 \cdot 17^4}{17^4 - 13^4} \cdot \sqrt{13} = \frac{2 \cdot 13^2 \cdot \sqrt{13} \cdot 17^4}{17^4 - 13^4}$.

Вычислим значения степеней:

$13^2 = 169$

$17^2 = 289$

$17^4 = 289^2 = 83521$

$13^4 = 169^2 = 28561$

$17^4 - 13^4 = 83521 - 28561 = 54960$.

Подставим числовые значения в выражение:

$\frac{2 \cdot 169 \cdot 83521}{54960} \cdot \sqrt{13} = \frac{28229098}{54960} \sqrt{13} = \frac{14114549}{27480}\sqrt{13}$.

Ответ: $\frac{14114549}{27480}\sqrt{13}$.

2)

Исходное выражение: $(\frac{5}{\frac{1}{6^2}+11} + \frac{5}{\frac{1}{6^2}-11}) \cdot 0,1 \cdot 6^{\frac{1}{2}}$.

Сначала упростим выражение в скобках. $6^2 = 36$.

$\frac{5}{\frac{1}{36}+11} + \frac{5}{\frac{1}{36}-11} = \frac{5}{\frac{1+11 \cdot 36}{36}} + \frac{5}{\frac{1-11 \cdot 36}{36}} = \frac{5}{\frac{1+396}{36}} + \frac{5}{\frac{1-396}{36}} = \frac{5 \cdot 36}{397} + \frac{5 \cdot 36}{-395}$.

$\frac{180}{397} - \frac{180}{395} = 180 \cdot (\frac{1}{397} - \frac{1}{395}) = 180 \cdot \frac{395 - 397}{397 \cdot 395} = 180 \cdot \frac{-2}{156815} = \frac{-360}{156815}$.

Сократим дробь на 5: $\frac{-360}{156815} = \frac{-72}{31363}$.

Теперь умножим результат на $0,1 \cdot 6^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{10} \sqrt{6}$.

$\frac{-72}{31363} \cdot \frac{\sqrt{6}}{10} = \frac{-72\sqrt{6}}{313630} = \frac{-36\sqrt{6}}{156815}$.

Ответ: $\frac{-36\sqrt{6}}{156815}$.

3)

Исходное выражение: $(8-28^{\frac{1}{2}})^{-1} + (8+28^{\frac{1}{2}})^{-1}$.

Упростим $28^{\frac{1}{2}} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

Выражение принимает вид: $(8-2\sqrt{7})^{-1} + (8+2\sqrt{7})^{-1}$.

Используем свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$\frac{1}{8-2\sqrt{7}} + \frac{1}{8+2\sqrt{7}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(8-2\sqrt{7})(8+2\sqrt{7})$:

$\frac{(8+2\sqrt{7}) + (8-2\sqrt{7})}{(8-2\sqrt{7})(8+2\sqrt{7})}$.

В числителе $8+2\sqrt{7} + 8-2\sqrt{7} = 16$.

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(8)^2 - (2\sqrt{7})^2 = 64 - (4 \cdot 7) = 64 - 28 = 36$.

Получаем дробь $\frac{16}{36}$, которую можно сократить на 4.

$\frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$.

4)

Исходное выражение: $(6+4 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{-1} + (6-4 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{-1}$.

Упростим $4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2}$.

Выражение принимает вид: $(6+4\sqrt{2})^{-1} + (6-4\sqrt{2})^{-1}$.

Используем свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$\frac{1}{6+4\sqrt{2}} + \frac{1}{6-4\sqrt{2}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(6+4\sqrt{2})(6-4\sqrt{2})$:

$\frac{(6-4\sqrt{2}) + (6+4\sqrt{2})}{(6+4\sqrt{2})(6-4\sqrt{2})}$.

В числителе $6-4\sqrt{2} + 6+4\sqrt{2} = 12$.

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(6)^2 - (4\sqrt{2})^2 = 36 - (16 \cdot 2) = 36 - 32 = 4$.

Получаем дробь $\frac{12}{4}$.

$\frac{12}{4} = 3$.

Ответ: $3$.

6.16. Упростите:

1) $(\left(\frac{1}{(a+1)^{\frac{1}{2}}} + (1-a)^{\frac{1}{2}}\right) : \left((1-a^2)^{\frac{1}{2}}+1\right), -1 < a < 1;$

2) $\frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{1+a+a^{\frac{1}{2}}} : \frac{1}{1-a^{\frac{3}{2}}}, a > 0, a \neq 1.$

1)

Запишем исходное выражение, используя знаки корней вместо степеней с дробным показателем, для большей наглядности:

$\left(\frac{1}{\sqrt{a+1}} + \sqrt{1-a}\right) : \left(\sqrt{1-a^2} + 1\right)$

Условие $-1 < a < 1$ гарантирует, что все подкоренные выражения ($a+1$, $1-a$ и $1-a^2$) строго положительны, поэтому все операции с корнями корректны.

Сначала упростим выражение в первых скобках (делимое), приведя слагаемые к общему знаменателю $\sqrt{a+1}$:

$\frac{1}{\sqrt{a+1}} + \sqrt{1-a} = \frac{1 + \sqrt{1-a} \cdot \sqrt{a+1}}{\sqrt{a+1}}$

Используя свойство произведения корней $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$, упростим числитель:

$\frac{1 + \sqrt{(1-a)(1+a)}}{\sqrt{a+1}} = \frac{1 + \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{a+1}}$

Теперь выполним деление полученного выражения на делитель $(1 + \sqrt{1-a^2})$:

$\frac{1 + \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{a+1}} : (1 + \sqrt{1-a^2}) = \frac{1 + \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{a+1}} \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{1-a^2}}$

Так как $-1 < a < 1$, то $1-a^2 > 0$, и, следовательно, $1 + \sqrt{1-a^2} \neq 0$. Мы можем сократить дробь на общий множитель $(1 + \sqrt{1-a^2})$:

$\frac{1 + \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{a+1} \cdot (1 + \sqrt{1-a^2})} = \frac{1}{\sqrt{a+1}}$

Это выражение можно также записать в виде $(a+1)^{-\frac{1}{2}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a+1}}$.

2)

Дано выражение: $\frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{1+a+a^{\frac{1}{2}}} : \frac{1}{1-a^{\frac{3}{2}}}$ при условиях $a > 0, a \neq 1$.

Заменим операцию деления на умножение на обратную дробь:

$\frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{1+a+a^{\frac{1}{2}}} \cdot (1-a^{\frac{3}{2}})$

Чтобы упростить выражение, введем замену: пусть $x = a^{\frac{1}{2}}$. Тогда $a = x^2$ и $a^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 = x^3$. Выражение примет вид:

$\frac{1+x}{1+x^2+x} \cdot (1-x^3)$

Применим формулу разности кубов $A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ к множителю $(1-x^3)$:

$1-x^3 = (1-x)(1+x+x^2)$

Подставим это разложение обратно в наше выражение:

$\frac{1+x}{1+x^2+x} \cdot (1-x)(1+x+x^2)$

Теперь можно сократить общий множитель $(1+x+x^2)$ в числителе и знаменателе. Так как по условию $a > 0$, то $x = \sqrt{a} > 0$, и значит выражение $1+x+x^2$ всегда больше нуля.

После сокращения остается: $(1+x)(1-x)$.

Это известная формула разности квадратов $(A+B)(A-B) = A^2-B^2$:

$(1+x)(1-x) = 1^2 - x^2 = 1 - x^2$

Наконец, выполним обратную замену $x^2 = a$:

$1 - a$

Ответ: $1-a$.