Страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Назовите виды степенной функции в зависимости от показателя. Приведите примеры.

2. Охарактеризуйте функции $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$, графики которых расположены на промежутке $[0; +\infty)$.

3. Чем отличаются области определений функций $y = x^{-2,5}$ и $y = x^{2,5}$? Ответ обоснуйте.

1. Степенная функция имеет вид $y = x^p$, где $p$ — заданное действительное число, называемое показателем степени. Свойства и график степенной функции зависят от вида показателя $p$.

а) Показатель $p$ — натуральное четное число, $p = 2n, n \in \mathbb{N}$.

Функция определена для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Область значений — $[0; +\infty)$.

Примеры: $y = x^2$ (парабола), $y = x^4$.

б) Показатель $p$ — натуральное нечетное число, $p = 2n-1, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$.

Функция определена для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Область значений — $(-\infty; +\infty)$.

Примеры: $y = x^3$ (кубическая парабола), $y = x^5$.

в) Показатель $p$ — целое отрицательное число, $p = -n, n \in \mathbb{N}$.

Функция определена для всех $x \neq 0$. Если $p$ — четное отрицательное (например, $y=x^{-2}$), то функция четная, область значений $(0; +\infty)$. Если $p$ — нечетное отрицательное (например, $y=x^{-1}$), то функция нечетная, область значений $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции называется гиперболой соответствующего порядка.

Примеры: $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$, $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

г) Показатель $p$ — положительное действительное нецелое число, $p > 0, p \notin \mathbb{Z}$.

Область определения такой функции, как правило, — промежуток $[0; +\infty)$. Функция возрастает на всей области определения. Область значений — $[0; +\infty)$.

Примеры: $y = x^{1/2} = \sqrt{x}$, $y = x^{2.5} = x^{5/2}$.

д) Показатель $p$ — отрицательное действительное нецелое число, $p < 0, p \notin \mathbb{Z}$.

Область определения — промежуток $(0; +\infty)$, так как основание степени должно быть положительным, и, из-за отрицательного показателя, не равняться нулю. Функция убывает на всей области определения. Область значений — $(0; +\infty)$.

Примеры: $y = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = x^{-\sqrt{2}}$.

Ответ: В зависимости от показателя $p$ степенная функция $y=x^p$ может быть с натуральным, целым отрицательным, дробным или иррациональным показателем. Примеры: $y=x^2$ (натуральный четный показатель), $y=x^3$ (натуральный нечетный), $y=x^{-1}$ (целый отрицательный), $y=\sqrt{x}$ (дробный положительный), $y=x^{-\sqrt{2}}$ (иррациональный отрицательный).

2. Характеристика функций $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ на промежутке $[0; +\infty)$:

Для функции $y=x^2$:

1. Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

4. Монотонность: функция является строго возрастающей на всем промежутке $[0; +\infty)$.

5. Ограниченность: функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.

6. Экстремумы: в точке $x=0$ находится минимум функции, $y_{min}=0$.

7. Выпуклость: график функции выпуклый вниз (вогнутый) на всем промежутке.

Для функции $y=\sqrt{x}$ ($y=x^{1/2}$):

1. Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

4. Монотонность: функция является строго возрастающей на всем промежутке $[0; +\infty)$.

5. Ограниченность: функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.

6. Экстремумы: в точке $x=0$ находится минимум функции, $y_{min}=0$.

7. Выпуклость: график функции выпуклый вверх (вогнутый) на промежутке $(0; +\infty)$.

Обе функции на заданном промежутке неотрицательны, возрастают и имеют общие точки $(0;0)$ и $(1;1)$. Их графики симметричны относительно прямой $y=x$, так как на промежутке $[0; +\infty)$ эти функции являются взаимно обратными.

Ответ: На промежутке $[0; +\infty)$ обе функции, $y=x^2$ и $y=\sqrt{x}$, возрастают от 0 до $+\infty$, имеют минимум в точке $(0,0)$. Основное отличие их графиков в выпуклости: график $y=x^2$ выпуклый вниз, а график $y=\sqrt{x}$ выпуклый вверх. Функции являются взаимно обратными.

3. Области определения функций $y = x^{-3.6}$ и $y = x^{-3.60}$ отличаются из-за различной интерпретации вида показателя степени.

Обоснование:

1. Для функции $y = x^{-3.6}$, показатель $p = -3.6$ представляется в виде обыкновенной несократимой дроби: $p = -3.6 = -\frac{36}{10} = -\frac{18}{5}$. В этом случае функция имеет вид $y=x^{-18/5} = \frac{1}{\sqrt[5]{x^{18}}}$. Так как знаменатель дроби ($n=5$) является нечетным числом, корень 5-й степени определен для любых действительных значений подкоренного выражения. Выражение $x^{18}$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Поскольку степень находится в знаменателе, необходимо исключить значение $x$, при котором знаменатель равен нулю, то есть $x=0$. Таким образом, область определения этой функции: $D_1 = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Для функции $y = x^{-3.60}$, запись показателя с нулем на конце ($-3.60$) может трактоваться как указание на то, что показатель является действительным (возможно, иррациональным) числом, а не конкретной рациональной дробью. По общепринятому соглашению, степенная функция с нецелым действительным показателем $p$ ($y=x^p = e^{p \ln x}$) определяется только для положительных значений основания $x$. Так как показатель $p=-3.60$ отрицателен, основание не может быть равно нулю. Следовательно, область определения этой функции состоит только из положительных чисел: $D_2 = (0; +\infty)$.

Таким образом, различие в записи чисел $-3.6$ и $-3.60$ приводит к разным подходам при определении области допустимых значений $x$.

Ответ: Область определения функции $y = x^{-3.6}$ — это все действительные числа, кроме нуля: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область определения функции $y = x^{-3.60}$ — это только положительные числа: $x \in (0; +\infty)$. Различие основано на том, что показатель $-3.6$ интерпретируется как рациональное число с нечетным знаменателем, допуская отрицательное основание, в то время как показатель $-3.60$ рассматривается как общее действительное число, для которого по определению основание степени должно быть положительным.

Постройте схематически графики функции $y = f(x)$ (8.1-8.2):

8.1. 1) $f(x) = x^6$; 2) $f(x) = x^{-5}$; 3) $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$; 4) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$.

1) $f(x) = x^6$

Это степенная функция $y=x^p$ с натуральным четным показателем $p=6$. Ее свойства и график схожи со свойствами и графиком параболы $y=x^2$.

Свойства функции:

1. Область определения: все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность: функция четная, так как $f(-x) = (-x)^6 = x^6 = f(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Область значений: $y \ge 0$, то есть $E(f) = [0; +\infty)$.

4. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Точка $x=0$ — точка минимума.

5. Ключевые точки: график проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Схематический график:

График представляет собой U-образную кривую, расположенную в I и II координатных четвертях. Он симметричен относительно оси Oy и проходит через начало координат. По сравнению с графиком $y=x^2$, график $y=x^6$ более прижат к оси Ox на интервале $(-1; 1)$ и растет гораздо быстрее при $|x| > 1$.

Ответ: График функции — это симметричная относительно оси Oy кривая, проходящая через начало координат, с ветвями, направленными вверх. График расположен в верхней полуплоскости. В точке $(0;0)$ функция имеет минимум.

2) $f(x) = x^{-5}$

Это степенная функция $y=x^p$ с целым отрицательным нечетным показателем $p=-5$. Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^5}$.

Свойства функции:

1. Область определения: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Нечетность: функция нечетная, так как $f(-x) = (-x)^{-5} = -x^{-5} = -f(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.

3. Область значений: $y \neq 0$, то есть $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4. Асимптоты: ось Oy (прямая $x=0$) — вертикальная асимптота. Ось Ox (прямая $y=0$) — горизонтальная асимптота.

5. Ключевые точки: график проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

Схематический график:

График состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях (аналогично гиперболе $y=1/x$). Одна ветвь в I четверти проходит через точку $(1;1)$ и приближается к осям координат. Вторая ветвь в III четверти симметрична первой относительно начала координат, проходит через точку $(-1;-1)$ и также приближается к осям.

Ответ: График функции — это кривая из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях и симметричных относительно начала координат. Оси координат являются асимптотами графика.

3) $f(x) = x^{\frac{4}{3}}$

Это степенная функция $y=x^p$ с рациональным положительным показателем $p = \frac{4}{3}$. Функцию можно представить в виде $f(x) = \sqrt[3]{x^4}$ или $f(x) = (\sqrt[3]{x})^4$.

Свойства функции:

1. Область определения: так как корень нечетной степени (кубический) извлекается из любого числа, область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность: функция четная, так как $f(-x) = ((-x)^4)^{\frac{1}{3}} = (x^4)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{4}{3}} = f(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

3. Область значений: так как $x^4 \ge 0$, то и $y \ge 0$. Область значений $E(f) = [0; +\infty)$.

4. Монотонность: функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Точка $x=0$ — точка минимума.

5. Ключевые точки: график проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Схематический график:

График расположен в I и II координатных четвертях, симметричен относительно оси Oy. Он проходит через начало координат, где имеет точку минимума. В точке $(0;0)$ график имеет особенность — касп (точку возврата), похожий на "клюв", касательная в котором горизонтальна.

Ответ: График функции — это симметричная относительно оси Oy кривая, расположенная в верхней полуплоскости. Ветви направлены вверх, график проходит через $(0;0)$, $(1;1)$, $(-1;1)$. В начале координат находится точка минимума и касп (острие).

4) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$

Это степенная функция $y=x^p$ с рациональным отрицательным показателем $p = -\frac{3}{4}$. Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{3/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$.

Свойства функции:

1. Область определения: из-за корня четной степени (4-й) подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x^3 \ge 0$, что равносильно $x \ge 0$). Из-за отрицательного показателя основание степени не может быть равно нулю ($x \neq 0$). Итого, $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Четность: область определения не симметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Область значений: для $x>0$ значение функции всегда положительно, $E(f) = (0; +\infty)$.

4. Асимптоты: ось Oy (прямая $x=0$) — вертикальная асимптота, так как при $x \to 0^+$ $y \to +\infty$. Ось Ox (прямая $y=0$) — горизонтальная асимптота, так как при $x \to +\infty$ $y \to 0$.

5. Ключевые точки: график проходит через точку $(1; 1)$.

Схематический график:

График представляет собой одну ветвь, полностью расположенную в I координатной четверти. Это убывающая кривая, которая проходит через точку $(1;1)$ и асимптотически приближается к положительной полуоси Oy при $x \to 0$ и к положительной полуоси Ox при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции — это убывающая кривая в первой координатной четверти, которая имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.

8.2. 1) $f(x) = x^{\pi}$;

2) $f(x) = x^{-\pi}$;

3) $f(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$;

4) $f(x) = (3x)^{\frac{1}{2}}$.

1) Для функции $f(x) = x^{\pi}$ используется правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. В данном случае показатель степени $n = \pi$.

Применяя это правило, получаем производную:

$f'(x) = (x^{\pi})' = \pi x^{\pi-1}$

Ответ: $f'(x) = \pi x^{\pi-1}$

2) Для функции $f(x) = x^{-\pi}$ также применяется правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где показатель степени $n = -\pi$.

Производная функции будет равна:

$f'(x) = (x^{-\pi})' = -\pi x^{-\pi-1}$

Ответ: $f'(x) = -\pi x^{-\pi-1}$

3) Функцию $f(x) = (\frac{x}{2})^{\frac{1}{\pi}}$ можно упростить перед нахождением производной, используя свойство степени $(ab)^k = a^k b^k$.

$f(x) = (\frac{1}{2} \cdot x)^{\frac{1}{\pi}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{\pi}} \cdot x^{\frac{1}{\pi}}$

В этом выражении $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{\pi}}$ является постоянным коэффициентом. Используем правило дифференцирования произведения константы на функцию $(C \cdot u)' = C \cdot u'$ и правило для степенной функции:

$f'(x) = \left((\frac{1}{2})^{\frac{1}{\pi}} \cdot x^{\frac{1}{\pi}}\right)' = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x^{\frac{1}{\pi}}\right)' = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1}{\pi} x^{\frac{1}{\pi}-1}$

Упростим полученное выражение:

$f'(x) = \frac{1}{2^{1/\pi}} \cdot \frac{1}{\pi} x^{\frac{1-\pi}{\pi}} = \frac{1}{\pi \cdot 2^{1/\pi}} x^{\frac{1-\pi}{\pi}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\pi \cdot 2^{1/\pi}} x^{\frac{1-\pi}{\pi}}$

4) Для функции $f(x) = (3x)^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ также сначала применим свойство степени, чтобы упростить выражение.

$f(x) = 3^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \cdot x^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Здесь множитель $3^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ является константой. Применяя правило дифференцирования произведения константы на функцию и правило для степенной функции, находим производную:

$f'(x) = \left(3^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \cdot x^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)' = 3^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \cdot \left(x^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)' = 3^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} x^{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}$

Запишем окончательный результат:

$f'(x) = \frac{3^{1/\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} x^{\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{3^{1/\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} x^{\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$