Страница 61 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Верно ли утверждение, что если $f(x) = x^{-n} (n \in N)$, то $f'(x)$ определена на $R$? Ответ обоснуйте.

2. В какой точке нельзя найти первообразную функции $y = x^{-n} (n \in N)$? Ответ обоснуйте.

1. Нет, данное утверждение неверно. Рассмотрим функцию $f(x) = x^{-n}$, где $n \in N$ (множество натуральных чисел). Эту функцию можно записать в виде $f(x) = \frac{1}{x^n}$. Областью определения этой функции являются все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Знаменатель $x^n = 0$ только при $x=0$. Следовательно, область определения функции $f(x)$ есть множество $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция не определена в точке $x=0$. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции: $f'(x) = (x^{-n})' = -n \cdot x^{-n-1} = -\frac{n}{x^{n+1}}$. Область определения производной $f'(x)$ также исключает точку $x=0$, поскольку при $x=0$ знаменатель $x^{n+1}$ обращается в ноль, что делает выражение неопределенным. Таким образом, производная $f'(x)$ определена на том же множестве, что и исходная функция, то есть на $R \setminus \{0\}$, а не на всем множестве действительных чисел $R$.

Ответ: утверждение неверно.

2. Первообразную для функции $y = x^{-n}$ ($n \in N$) нельзя найти в точке $x=0$. Обоснование: Функция $y = x^{-n}$ может быть записана как $y = \frac{1}{x^n}$. Эта функция не определена в точке $x=0$, так как при подстановке $x=0$ в знаменатель мы получаем деление на ноль. В точке $x=0$ функция имеет бесконечный разрыв. По определению, функция $F(x)$ называется первообразной для функции $y(x)$ на некотором интервале, если для всех $x$ из этого интервала выполняется равенство $F'(x) = y(x)$. Поскольку функция $y(x)$ не определена в точке $x=0$, то и значение $y(0)$ не существует. Следовательно, равенство $F'(0) = y(0)$ не может быть выполнено ни для какой функции $F(x)$. Это означает, что ни одна функция не может быть первообразной для $y = x^{-n}$ в точке $x=0$. Можно также рассмотреть общую формулу для первообразной:

• Если $n=1$, то $y = \frac{1}{x}$, и ее первообразная $F(x) = \ln|x| + C$. Эта функция не определена в точке $x=0$.
• Если $n > 1$ ($n \in N$), то первообразная находится по формуле $\int x^k dx = \frac{x^{k+1}}{k+1} + C$. $F(x) = \int x^{-n} dx = \frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C = -\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + C$. Эта функция также не определена в точке $x=0$.

Ответ: в точке $x=0$.

Найдите производную функции $y = f(x)$ (9.1–9.2):

9.1. 1) $f(x) = x^{5/6}$; 2) $f(x) = x^{-2/3}$; 3) $f(x) = x^{\sqrt{6}}$; 4) $f(x) = x^{-1+\sqrt{3}}$.

1) Для нахождения производной функции $f(x) = x^{\frac{5}{6}}$ используется правило дифференцирования степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

В данном случае показатель степени $n = \frac{5}{6}$.

Подставляем значение $n$ в формулу:

$f'(x) = (x^{\frac{5}{6}})' = \frac{5}{6}x^{\frac{5}{6} - 1}$.

Упростим показатель степени: $\frac{5}{6} - 1 = \frac{5}{6} - \frac{6}{6} = -\frac{1}{6}$.

Таким образом, производная равна: $f'(x) = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}$.

2) Для функции $f(x) = x^{-\frac{2}{7}}$ применяем то же правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Здесь показатель степени $n = -\frac{2}{7}$.

Подставляем $n$ в формулу:

$f'(x) = (x^{-\frac{2}{7}})' = -\frac{2}{7}x^{-\frac{2}{7} - 1}$.

Упростим показатель степени: $-\frac{2}{7} - 1 = -\frac{2}{7} - \frac{7}{7} = -\frac{9}{7}$.

Следовательно, производная равна: $f'(x) = -\frac{2}{7}x^{-\frac{9}{7}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{2}{7}x^{-\frac{9}{7}}$.

3) Для функции $f(x) = x^{\sqrt{6}}$ используем то же правило $(x^n)' = nx^{n-1}$.

В этом случае показатель степени $n = \sqrt{6}$.

Подставляем $n$ в формулу:

$f'(x) = (x^{\sqrt{6}})' = \sqrt{6}x^{\sqrt{6} - 1}$.

Это выражение является окончательным.

Ответ: $f'(x) = \sqrt{6}x^{\sqrt{6} - 1}$.

4) Для функции $f(x) = x^{-1+\sqrt{3}}$ также используем правило $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Здесь показатель степени $n = -1+\sqrt{3}$.

Подставляем $n$ в формулу:

$f'(x) = (x^{-1+\sqrt{3}})' = (-1+\sqrt{3})x^{(-1+\sqrt{3}) - 1}$.

Упростим показатель степени: $(-1+\sqrt{3}) - 1 = \sqrt{3} - 2$.

Таким образом, производная равна: $f'(x) = (\sqrt{3}-1)x^{\sqrt{3}-2}$.

Ответ: $f'(x) = (\sqrt{3}-1)x^{\sqrt{3}-2}$.