Страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Чем отличается иррациональное уравнение от рационального уравнения?

2. В чем сходство иррационального и рационального уравнений?

1. Чем отличается иррациональное уравнение от рационального уравнения?

Основное отличие между иррациональным и рациональным уравнением заключается в том, как в них представлена переменная.

Рациональное уравнение — это уравнение, в котором обе части являются рациональными выражениями. Рациональное выражение представляет собой алгебраическую дробь, где числитель и знаменатель являются многочленами. В рациональных уравнениях переменная не находится под знаком корня (радикала) или в основании степени с дробным показателем.

Примеры рациональных уравнений:

- Целое рациональное (полиномиальное) уравнение: $3x^2 - 7x + 2 = 0$.

- Дробно-рациональное уравнение: $\frac{x-5}{x+3} = 2x$.

Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная (неизвестное) находится под знаком корня (радикала) или возводится в степень с дробным (нецелым) показателем.

Примеры иррациональных уравнений:

- $\sqrt{x+4} = 2$.

- $\sqrt[3]{x^2-1} = x+1$.

- $x^{1/2} + 2x^{1/4} - 3 = 0$.

Таким образом, ключевое различие — это наличие переменной под знаком радикала. Это обстоятельство приводит к специфическим методам решения и необходимости учитывать область допустимых значений (ОДЗ), например, требование неотрицательности подкоренного выражения для корней четной степени.

Ответ: Иррациональное уравнение отличается от рационального тем, что в нем переменная величина находится под знаком корня (радикала) или в основании степени с дробным показателем.

2. В чем сходство иррационального и рационального уравнений?

Несмотря на фундаментальное различие, у иррациональных и рациональных уравнений есть несколько важных сходств:

1. Общая цель и природа: Оба типа уравнений являются алгебраическими. Цель их решения едина — найти все значения переменной (корни), при подстановке которых уравнение обращается в верное числовое равенство.

2. Взаимосвязь методов решения: Решение иррациональных уравнений очень часто сводится к решению рациональных. Основной метод избавления от иррациональности — возведение обеих частей уравнения в степень, соответствующую показателю корня. После этой операции иррациональное уравнение, как правило, превращается в рациональное. Например, уравнение $\sqrt{x-1} = 5$ после возведения в квадрат становится рациональным уравнением $x-1 = 25$.

3. Необходимость проверки корней: При решении обоих видов уравнений могут появляться посторонние корни, поэтому требуется проверка.

- В дробно-рациональных уравнениях проверка необходима, чтобы исключить корни, обращающие знаменатель в ноль.

- В иррациональных уравнениях проверка обязательна, если в ходе решения обе части уравнения возводились в четную степень. Такое преобразование не является равносильным и может привести к появлению посторонних корней. Например, уравнение $\sqrt{x} = -2$ не имеет решений, но возведение в квадрат дает $x = 4$, что является посторонним корнем.

4. Учет области допустимых значений (ОДЗ): Для обоих типов уравнений перед решением или во время него важно определять и учитывать ОДЗ. Для рациональных — это все значения переменной, кроме тех, что обращают знаменатель в ноль. Для иррациональных — это значения, при которых выражения под корнями четной степени неотрицательны.

Ответ: Сходство заключается в том, что это алгебраические уравнения, целью решения которых является нахождение корней. Методы их решения тесно связаны (иррациональные часто сводятся к рациональным), и для обоих типов уравнений важен анализ области допустимых значений и проверка найденных корней.

10.1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{x-5}$;

2) $\sqrt{7-x}$;

3) $\sqrt[3]{x+16}$;

4) $\sqrt[5]{11-x}$?

1) Выражение $\sqrt{x-5}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, поскольку корень четной степени (в данном случае квадратный корень) определен только для неотрицательных чисел.

Следовательно, должно выполняться неравенство:

$x - 5 \ge 0$

Перенесем -5 в правую часть неравенства, изменив знак:

$x \ge 5$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые больше или равны 5.

Ответ: $x \in [5; +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt{7-x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как это корень четной степени.

Следовательно, должно выполняться неравенство:

$7 - x \ge 0$

Перенесем $-x$ в правую часть неравенства, изменив знак:

$7 \ge x$

Это неравенство эквивалентно записи $x \le 7$.

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые меньше или равны 7.

Ответ: $x \in (-\infty; 7]$.

3) Выражение $\sqrt[3]{x+16}$ представляет собой корень нечетной степени (кубический корень). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, так как любое число можно возвести в третью степень.

Поэтому подкоренное выражение $x+16$ может принимать любые действительные значения.

Никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.

Таким образом, переменная $x$ может быть любым действительным числом.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

4) Выражение $\sqrt[5]{11-x}$ представляет собой корень нечетной степени (корень пятой степени). Аналогично кубическому корню, корень нечетной степени определен для любого действительного числа.

Поэтому подкоренное выражение $11-x$ может принимать любые действительные значения.

Ограничений на переменную $x$ не накладывается.

Таким образом, переменная $x$ может быть любым действительным числом.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

10.2. Найдите допустимые значения переменной:

1) $\sqrt{x^2 - 8x}$;

2) $\sqrt[3]{x^2 - 25}$;

3) $\sqrt{6x + x^2} + x$;

4) $x + \sqrt{4x^2 - 49}$.

1) Выражение $\sqrt{x^2 - 8x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Следовательно, необходимо решить неравенство:

$x^2 - 8x \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 8x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем корни:

$x_1 = 0$

$x_2 = 8$

Графиком функции $y = x^2 - 8x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Следовательно, значения функции будут неотрицательными на промежутках, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; 0]$ и $[8; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [8; +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt[3]{x^2 - 25}$ содержит корень нечетной (третьей) степени. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, так как из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) можно извлечь кубический корень. Подкоренное выражение $x^2 - 25$ также определено для любого действительного значения $x$.

Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.

Ответ: $x$ — любое действительное число, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) Выражение $\sqrt{6x + x^2} + x$ содержит квадратный корень. Область допустимых значений определяется условием неотрицательности подкоренного выражения. Слагаемое $x$ определено для всех действительных чисел и не вносит дополнительных ограничений.

Решим неравенство:

$6x + x^2 \ge 0$

Перепишем в стандартном виде: $x^2 + 6x \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 6x = 0$:

$x(x + 6) = 0$

Корни уравнения:

$x_1 = 0$

$x_2 = -6$

Графиком функции $y = x^2 + 6x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны вне интервала между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -6]$ и $[0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [0; +\infty)$.

4) Выражение $x + \sqrt{4x^2 - 49}$ содержит квадратный корень. Область допустимых значений определяется условием неотрицательности подкоренного выражения. Слагаемое $x$ определено для всех действительных чисел.

Решим неравенство:

$4x^2 - 49 \ge 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 - 49 = 0$. Это разность квадратов $(2x)^2 - 7^2 = 0$.

$(2x - 7)(2x + 7) = 0$

Корни уравнения:

$2x - 7 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{7}{2} = 3.5$

$2x + 7 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{7}{2} = -3.5$

Графиком функции $y = 4x^2 - 49$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 4, что больше нуля). Значения функции неотрицательны вне интервала между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -3.5]$ и $[3.5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3.5] \cup [3.5; +\infty)$.

10.3. Составьте иррациональное уравнение, корнем которого является число:

1) $x = 5$;

2) $x = -6$;

3) $x = -0,2$;

4) $x = 2,3$.

Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная находится под знаком корня (радикала). Чтобы составить такое уравнение для заданного корня, нужно выполнить следующие шаги:

1. Придумать выражение с переменной $x$, которое при подстановке заданного значения $x$ станет положительным числом, из которого легко извлекается корень (например, полным квадратом для квадратного корня).

2. Приравнять корень из этого выражения к результату извлечения корня.

3. Проверить, что исходное число действительно является корнем полученного уравнения.

Существует бесконечно много вариантов таких уравнений. Ниже приведены примеры для каждого случая.

1) $x = 5$

Нужно составить иррациональное уравнение, корнем которого является число 5.

Возьмем выражение $x+4$. При $x = 5$ значение этого выражения равно $5+4=9$.

Число 9 является полным квадратом, $\sqrt{9} = 3$.

Таким образом, мы можем составить уравнение: $\sqrt{x+4} = 3$.

Проверим его. Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{x+4})^2 = 3^2$, что дает $x+4=9$. Отсюда $x = 9-4=5$.

Значение $x=5$ является корнем этого уравнения.

Ответ: $\sqrt{x+4} = 3$

2) $x = -6$

Составим уравнение для корня $x = -6$.

Подберем выражение, которое будет положительным при $x=-6$. Например, $10+x$.

При $x=-6$ его значение равно $10+(-6)=4$.

Квадратный корень из 4 равен 2.

Составим уравнение: $\sqrt{10+x} = 2$.

Проверим, решив его: возводим в квадрат обе части, получаем $10+x=4$. Отсюда $x=4-10=-6$.

Значение $x=-6$ является корнем.

Ответ: $\sqrt{10+x} = 2$

3) $x = -0,2$

Составим уравнение для корня $x = -0,2$.

Чтобы избежать десятичных дробей в самом уравнении, можно подобрать более сложное выражение. Например, $24-5x$.

При $x = -0,2$ значение этого выражения равно $24 - 5 \cdot (-0,2) = 24 + 1 = 25$.

Квадратный корень из 25 равен 5.

Получаем уравнение: $\sqrt{24-5x} = 5$.

Проверка: возводим в квадрат $24-5x=25$, отсюда $-5x = 1$, и $x = -1/5 = -0,2$.

Значение $x=-0,2$ является корнем.

Ответ: $\sqrt{24-5x} = 5$

4) $x = 2,3$

Составим уравнение для корня $x = 2,3$.

Возьмем выражение $10x-14$.

При $x = 2,3$ его значение равно $10 \cdot 2,3 - 14 = 23 - 14 = 9$.

Квадратный корень из 9 равен 3.

Составляем уравнение: $\sqrt{10x-14} = 3$.

Проверка: возводим в квадрат $10x-14 = 9$, отсюда $10x=23$, и $x=2,3$.

Значение $x=2,3$ является корнем.

Ответ: $\sqrt{10x-14} = 3$

10.4. Найдите множество, которому принадлежит решение иррационального уравнения:

1) $\sqrt{x+4} = x$;

2) $\sqrt{23-x} = x$;

3) $\sqrt{x^2-1} = 2x$;

4) $\sqrt{5x+x^2} = 3x$.

1)Исходное уравнение: $\sqrt{x + 4} = x$.

Для решения иррационального уравнения необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$. Правая часть уравнения, равная арифметическому квадратному корню, также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x + 4})^2 = x^2$

$x + 4 = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 4 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{17}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{17}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} > \sqrt{1} = 1$, то $1 - \sqrt{17} < 0$, следовательно, $x_1 < 0$. Этот корень является посторонним.

Корень $x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} > 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, множество решений уравнения состоит из одного элемента.

Ответ: $\{\frac{1 + \sqrt{17}}{2}\}$

2)Исходное уравнение: $\sqrt{23 - x} = x$.

Определим ОДЗ:

1. Подкоренное выражение: $23 - x \ge 0 \implies x \le 23$.

2. Правая часть: $x \ge 0$.

Итоговая ОДЗ: $x \in [0, 23]$.

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{23 - x})^2 = x^2$

$23 - x = x^2$

$x^2 + x - 23 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 1 + 92 = 93$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{93}}{2}$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{93}}{2}$

Проверяем корни по ОДЗ ($0 \le x \le 23$).

Корень $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{93}}{2} < 0$, не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.

Корень $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{93}}{2}$. Так как $9 < \sqrt{93} < 10$, то $8 < -1 + \sqrt{93} < 9$, и $4 < \frac{-1 + \sqrt{93}}{2} < 4.5$. Это значение входит в интервал $[0, 23]$, значит, является решением.

Множество решений уравнения состоит из одного элемента.

Ответ: $\{\frac{-1 + \sqrt{93}}{2}\}$

3)Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 1} = 2x$.

Определим ОДЗ:

1. Подкоренное выражение: $x^2 - 1 \ge 0 \implies (x-1)(x+1) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Правая часть: $2x \ge 0 \implies x \ge 0$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{x^2 - 1})^2 = (2x)^2$

$x^2 - 1 = 4x^2$

$3x^2 = -1$

$x^2 = -\frac{1}{3}$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет действительных решений.

Множество решений является пустым.

Ответ: $\emptyset$

4)Исходное уравнение: $\sqrt{5x + x^2} = 3x$.

Определим ОДЗ:

1. Подкоренное выражение: $5x + x^2 \ge 0 \implies x(5 + x) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -5] \cup [0, \infty)$.

2. Правая часть: $3x \ge 0 \implies x \ge 0$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{5x + x^2})^2 = (3x)^2$

$5x + x^2 = 9x^2$

$8x^2 - 5x = 0$

Выносим $x$ за скобки:

$x(8x - 5) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$8x - 5 = 0 \implies 8x = 5 \implies x_2 = \frac{5}{8}$

Оба корня, $x_1=0$ и $x_2=\frac{5}{8}$, удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Следовательно, уравнение имеет два решения.

Множество решений уравнения — это $\{0, \frac{5}{8}\}$.

Ответ: $\{0, \frac{5}{8}\}$

10.5. Является ли данное число (числа) корнем (корнями) иррационального уравнения:

1) $\sqrt{x - 5} = 3$ и $x = 14$;

2) $\sqrt[3]{7 - x} = 0$ и $x = -20$;

3) $\sqrt{2x + 24} = 0$ и $x = -4$, $x = 6$;

4) $\sqrt{3x + 2} = x$ и $x = 2$, $x = 1$?

1) Чтобы проверить, является ли число $x=14$ корнем уравнения $\sqrt{x-5} = 3$, нужно подставить это значение в уравнение и проверить, получится ли верное равенство.

Подставляем $x=14$:

$\sqrt{14-5} = \sqrt{9} = 3$.

Получаем равенство $3 = 3$, которое является верным.

Следовательно, число $14$ является корнем данного уравнения.

Ответ: Да, является.

2) Проверим, является ли число $x=-20$ корнем уравнения $\sqrt[3]{7-x} = 0$.

Подставляем $x=-20$:

$\sqrt[3]{7 - (-20)} = \sqrt[3]{7+20} = \sqrt[3]{27} = 3$.

Получаем равенство $3 = 0$, которое является неверным.

Следовательно, число $-20$ не является корнем данного уравнения.

Ответ: Нет, не является.

3) Проверим, являются ли числа $x=-4$ и $x=6$ корнями уравнения $\sqrt{2x+24} = 0$.

Сначала проверим $x=-4$:

$\sqrt{2(-4) + 24} = \sqrt{-8+24} = \sqrt{16} = 4$.

Получаем равенство $4=0$, что неверно. Значит, $x=-4$ не является корнем.

Теперь проверим $x=6$:

$\sqrt{2(6) + 24} = \sqrt{12+24} = \sqrt{36} = 6$.

Получаем равенство $6=0$, что также неверно. Значит, $x=6$ не является корнем.

Ответ: Ни одно из данных чисел не является корнем уравнения.

4) Проверим, являются ли числа $x=2$ и $x=1$ корнями уравнения $\sqrt{3x+2} = x$.

Сначала проверим $x=2$:

Левая часть: $\sqrt{3(2) + 2} = \sqrt{6+2} = \sqrt{8}$.

Правая часть: $x=2$.

Получаем равенство $\sqrt{8} = 2$. Это неверно, так как $2^2=4 \neq 8$. Значит, $x=2$ не является корнем.

Теперь проверим $x=1$:

Левая часть: $\sqrt{3(1) + 2} = \sqrt{3+2} = \sqrt{5}$.

Правая часть: $x=1$.

Получаем равенство $\sqrt{5} = 1$. Это неверно, так как $1^2=1 \neq 5$. Значит, $x=1$ не является корнем.

Ответ: Ни одно из данных чисел не является корнем уравнения.

10.6. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{x + 4} + \sqrt{5 - x}$;

2) $\sqrt{10 - 2x} + \sqrt{49 + 7x}$;

3) $\sqrt{x^2 - 9} + \sqrt{x - 2}$;

4) $\sqrt{4 + x} + \sqrt{16 - x^2}$?

1) Для того чтобы выражение $\sqrt{x+4} + \sqrt{5-x}$ имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными. Это условие приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x+4 \geq 0 \\ 5-x \geq 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе:

$\begin{cases} x \geq -4 \\ -x \geq -5 \end{cases}$

Умножим второе неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\begin{cases} x \geq -4 \\ x \leq 5 \end{cases}$

Решением системы является пересечение промежутков $x \geq -4$ и $x \leq 5$, что соответствует отрезку $[-4; 5]$.

Ответ: $x \in [-4; 5]$.

2) Выражение $\sqrt{10-2x} + \sqrt{49+7x}$ имеет смысл, когда подкоренные выражения неотрицательны. Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} 10-2x \geq 0 \\ 49+7x \geq 0 \end{cases}$

Решаем каждое неравенство:

$\begin{cases} -2x \geq -10 \\ 7x \geq -49 \end{cases}$

Разделим первое неравенство на -2 (изменив знак) и второе на 7:

$\begin{cases} x \leq 5 \\ x \geq -7 \end{cases}$

Общим решением системы является промежуток, где переменная $x$ одновременно больше или равна -7 и меньше или равна 5. Это отрезок $[-7; 5]$.

Ответ: $x \in [-7; 5]$.

3) Выражение $\sqrt{x^2-9} + \sqrt{x-2}$ имеет смысл, если оба подкоренных выражения неотрицательны. Это соответствует системе неравенств:

$\begin{cases} x^2-9 \geq 0 \\ x-2 \geq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2-9 \geq 0$. Разложим на множители: $(x-3)(x+3) \geq 0$. Корни уравнения $(x-3)(x+3) = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при значениях $x$ вне корней. Таким образом, решением является объединение промежутков $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

Решим второе неравенство: $x-2 \geq 0 \implies x \geq 2$. Это соответствует промежутку $[2; \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $( (-\infty; -3] \cup [3; \infty) ) \cap [2; \infty)$. Общей частью этих множеств является промежуток, где $x$ одновременно больше или равен 2 и принадлежит $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$. Это промежуток $[3; \infty)$.

Ответ: $x \in [3; \infty)$.

4) Для того чтобы выражение $\sqrt{4+x} + \sqrt{16-x^2}$ имело смысл, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 4+x \geq 0 \\ 16-x^2 \geq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $4+x \geq 0 \implies x \geq -4$. Это соответствует промежутку $[-4; \infty)$.

Решим второе неравенство: $16-x^2 \geq 0$. Разложим на множители: $(4-x)(4+x) \geq 0$. Корни уравнения $(4-x)(4+x) = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$. Это парабола с ветвями вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями (включительно). Решением является отрезок $[-4; 4]$.

Найдем пересечение решений системы: $[-4; \infty) \cap [-4; 4]$. Общим решением является отрезок $[-4; 4]$.

Ответ: $x \in [-4; 4]$.