Номер 10.3, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10.3. Составьте иррациональное уравнение, корнем которого является число:

1) $x = 5$;

2) $x = -6$;

3) $x = -0,2$;

4) $x = 2,3$.

Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная находится под знаком корня (радикала). Чтобы составить такое уравнение для заданного корня, нужно выполнить следующие шаги:

1. Придумать выражение с переменной $x$, которое при подстановке заданного значения $x$ станет положительным числом, из которого легко извлекается корень (например, полным квадратом для квадратного корня).

2. Приравнять корень из этого выражения к результату извлечения корня.

3. Проверить, что исходное число действительно является корнем полученного уравнения.

Существует бесконечно много вариантов таких уравнений. Ниже приведены примеры для каждого случая.

1) $x = 5$

Нужно составить иррациональное уравнение, корнем которого является число 5.

Возьмем выражение $x+4$. При $x = 5$ значение этого выражения равно $5+4=9$.

Число 9 является полным квадратом, $\sqrt{9} = 3$.

Таким образом, мы можем составить уравнение: $\sqrt{x+4} = 3$.

Проверим его. Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{x+4})^2 = 3^2$, что дает $x+4=9$. Отсюда $x = 9-4=5$.

Значение $x=5$ является корнем этого уравнения.

Ответ: $\sqrt{x+4} = 3$

2) $x = -6$

Составим уравнение для корня $x = -6$.

Подберем выражение, которое будет положительным при $x=-6$. Например, $10+x$.

При $x=-6$ его значение равно $10+(-6)=4$.

Квадратный корень из 4 равен 2.

Составим уравнение: $\sqrt{10+x} = 2$.

Проверим, решив его: возводим в квадрат обе части, получаем $10+x=4$. Отсюда $x=4-10=-6$.

Значение $x=-6$ является корнем.

Ответ: $\sqrt{10+x} = 2$

3) $x = -0,2$

Составим уравнение для корня $x = -0,2$.

Чтобы избежать десятичных дробей в самом уравнении, можно подобрать более сложное выражение. Например, $24-5x$.

При $x = -0,2$ значение этого выражения равно $24 - 5 \cdot (-0,2) = 24 + 1 = 25$.

Квадратный корень из 25 равен 5.

Получаем уравнение: $\sqrt{24-5x} = 5$.

Проверка: возводим в квадрат $24-5x=25$, отсюда $-5x = 1$, и $x = -1/5 = -0,2$.

Значение $x=-0,2$ является корнем.

Ответ: $\sqrt{24-5x} = 5$

4) $x = 2,3$

Составим уравнение для корня $x = 2,3$.

Возьмем выражение $10x-14$.

При $x = 2,3$ его значение равно $10 \cdot 2,3 - 14 = 23 - 14 = 9$.

Квадратный корень из 9 равен 3.

Составляем уравнение: $\sqrt{10x-14} = 3$.

Проверка: возводим в квадрат $10x-14 = 9$, отсюда $10x=23$, и $x=2,3$.

Значение $x=2,3$ является корнем.

Ответ: $\sqrt{10x-14} = 3$