Самостоятельно, страница 66 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Заполните таблицу:

Таблица 3

Название уравнения

Решение уравнения

$2x + 3 = -10$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

$x^4 + 2x^2 - 3 = 0$

$\frac{5+x}{x-6} = 0$

Заполняя таблицу, вспомнили пути решения рациональных уравнений. Теперь перейдем к понятию иррационального уравнения.

Чем отличаются уравнения $\sqrt{x} = 4, 10 - \sqrt{x} = 4, 10 - x^{\frac{1}{3}} = 4$ от выше рассмотренных уравнений?

$2x + 3 = -10$

Название уравнения: Линейное уравнение.

Решение уравнения:

Перенесем свободный член (3) в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = -10 - 3$

$2x = -13$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{-13}{2}$

$x = -6.5$

Ответ: $-6.5$.

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Название уравнения: Квадратное уравнение.

Решение уравнения:

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$. Можно решить по теореме Виета или через дискриминант. Решим через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$a=1, b=2, c=-3$

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Ответ: $1; -3$.

$x^4 + 2x^2 - 3 = 0$

Название уравнения: Биквадратное уравнение.

Решение уравнения:

Это биквадратное уравнение. Введем новую переменную: пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, должно выполняться условие $y \ge 0$.

Подставив $y$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:

$y^2 + 2y - 3 = 0$.

Корни этого уравнения, как мы нашли в предыдущем пункте, равны $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим корень $y_1 = 1$ и выполним обратную замену:

$x^2 = 1$.

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $1; -1$.

$\frac{5+x}{x-6} = 0$

Название уравнения: Дробно-рациональное уравнение.

Решение уравнения:

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} 5 + x = 0 \\ x - 6 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы находим: $x = -5$.

Подставим найденное значение во второе условие, чтобы проверить его:

$-5 - 6 = -11$.

Поскольку $-11 \neq 0$, условие выполняется. Значит, $x = -5$ является корнем уравнения.

Ответ: $-5$.

Чем отличаются уравнения $\sqrt{x} = 4, 10 - \sqrt{x} = 4, 10 - x^{\frac{1}{3}} = 4$ от выше рассмотренных уравнений?

Уравнения, рассмотренные в таблице (линейное, квадратное, биквадратное и дробно-рациональное), являются рациональными уравнениями. В таких уравнениях переменная не находится под знаком корня. Они могут быть представлены в виде $\frac{P(x)}{Q(x)}=0$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены.

Уравнения $\sqrt{x} = 4$, $10 - \sqrt{x} = 4$ и $10 - x^{\frac{1}{3}} = 4$ являются иррациональными уравнениями. Их ключевое отличие заключается в том, что переменная $x$ в них находится под знаком радикала (корня) или возведена в дробную степень, что является другой формой записи корня ($x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}$).