gdz.top
Номер 12, страница 65 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова
Авторы: Абылкасымова А. Е., Жумагулова З. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава II. Степени и корни. Степенная функция. Проверь себя! - номер 12, страница 65.
№11
№12 (с. 65)
Условие. №12 (с. 65)
12. Сколько корней имеет уравнение $x^4 - 16 = 0$:
А) один корень;
В) два корня;
С) бесчисленное множество;
D) четыре корня?
Решение 2 (rus). №12 (с. 65)
12. Чтобы найти количество корней уравнения $x^4 - 16 = 0$, необходимо его решить. Данное уравнение является биквадратным.
Представим левую часть уравнения в виде разности квадратов, так как $x^4 = (x^2)^2$ и $16 = 4^2$.
$(x^2)^2 - 4^2 = 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:
1) $x^2 - 4 = 0$
2) $x^2 + 4 = 0$
Решим первое уравнение:
$x^2 = 4$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим два действительных корня:
$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Теперь решим второе уравнение:
$x^2 = -4$
В области действительных чисел это уравнение не имеет решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Однако в области комплексных чисел корни существуют.
$x = \pm \sqrt{-4} = \pm \sqrt{4 \cdot (-1)} = \pm 2\sqrt{-1}$
По определению мнимой единицы $i = \sqrt{-1}$, получаем два комплексных корня:
$x_3 = 2i$ и $x_4 = -2i$.
Следовательно, исходное уравнение $x^4 - 16 = 0$ имеет всего четыре корня: два действительных ($2$, $-2$) и два комплексных ($2i$, $-2i$).
Этот результат также соответствует основной теореме алгебры, которая утверждает, что многочлен степени $n$ имеет ровно $n$ комплексных корней (с учетом кратности). Степень нашего уравнения равна 4, поэтому оно имеет четыре корня.
Ответ: D) четыре корня.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 12 расположенного на странице 65 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №12 (с. 65), авторов: Абылкасымова (Алма Есимбековна), Жумагулова (Зауре Абдыкеновна), учебного пособия издательства Мектеп.