Номер 15, страница 65 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15. Вычислите интеграл $\int_{0}^{4} x^{\frac{1}{5}}dx$:

A) 1;

B) $\frac{25}{16}$;

C) $-\frac{25}{16}$;

D) -1.

При решении задачи в том виде, как она представлена на изображении, возникает несоответствие с предложенными вариантами ответов. Вычислим интеграл в исходном виде:

$I = \int_0^{\sqrt[4]{5}} \frac{1}{4}x^4 dx$

Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{4}x^4$ находится по формуле интегрирования степенной функции:

$F(x) = \int \frac{1}{4}x^4 dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{20} + C$

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$I = \left. \frac{x^5}{20} \right|_0^{\sqrt[4]{5}} = \frac{(\sqrt[4]{5})^5}{20} - \frac{0^5}{20} = \frac{5^{5/4}}{20} = \frac{5^{5/4}}{4 \cdot 5} = \frac{5^{1/4}}{4} = \frac{\sqrt[4]{5}}{4}$

Результат $\frac{\sqrt[4]{5}}{4}$ не совпадает ни с одним из вариантов ответа, что указывает на вероятную опечатку в условии задачи.

Наиболее правдоподобной является версия, в которой была допущена опечатка в степени переменной и в показателе корня верхнего предела. Если предположить, что имелся в виду интеграл $I' = \int_0^{\sqrt{5}} \frac{1}{4}x^3 dx$, то решение приводит к одному из ответов.

Решение скорректированной задачи:

Вычислим интеграл $I' = \int_0^{\sqrt{5}} \frac{1}{4}x^3 dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{4}x^3$ равна:

$F(x) = \int \frac{1}{4}x^3 dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{16} + C$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$I' = \left. \frac{x^4}{16} \right|_0^{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5})^4}{16} - \frac{0^4}{16}$

Выполняем вычисления:

$I' = \frac{(5^{1/2})^4}{16} - 0 = \frac{5^2}{16} = \frac{25}{16}$

Этот результат соответствует варианту ответа B).

Ответ: $\frac{25}{16}$