Номер 10.1, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10.1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{x-5}$;

2) $\sqrt{7-x}$;

3) $\sqrt[3]{x+16}$;

4) $\sqrt[5]{11-x}$?

1) Выражение $\sqrt{x-5}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, поскольку корень четной степени (в данном случае квадратный корень) определен только для неотрицательных чисел.

Следовательно, должно выполняться неравенство:

$x - 5 \ge 0$

Перенесем -5 в правую часть неравенства, изменив знак:

$x \ge 5$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые больше или равны 5.

Ответ: $x \in [5; +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt{7-x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как это корень четной степени.

Следовательно, должно выполняться неравенство:

$7 - x \ge 0$

Перенесем $-x$ в правую часть неравенства, изменив знак:

$7 \ge x$

Это неравенство эквивалентно записи $x \le 7$.

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые меньше или равны 7.

Ответ: $x \in (-\infty; 7]$.

3) Выражение $\sqrt[3]{x+16}$ представляет собой корень нечетной степени (кубический корень). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, так как любое число можно возвести в третью степень.

Поэтому подкоренное выражение $x+16$ может принимать любые действительные значения.

Никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.

Таким образом, переменная $x$ может быть любым действительным числом.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

4) Выражение $\sqrt[5]{11-x}$ представляет собой корень нечетной степени (корень пятой степени). Аналогично кубическому корню, корень нечетной степени определен для любого действительного числа.

Поэтому подкоренное выражение $11-x$ может принимать любые действительные значения.

Ограничений на переменную $x$ не накладывается.

Таким образом, переменная $x$ может быть любым действительным числом.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.