Номер 10.2, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10.2. Найдите допустимые значения переменной:

1) $\sqrt{x^2 - 8x}$;

2) $\sqrt[3]{x^2 - 25}$;

3) $\sqrt{6x + x^2} + x$;

4) $x + \sqrt{4x^2 - 49}$.

1) Выражение $\sqrt{x^2 - 8x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Следовательно, необходимо решить неравенство:

$x^2 - 8x \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 8x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем корни:

$x_1 = 0$

$x_2 = 8$

Графиком функции $y = x^2 - 8x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Следовательно, значения функции будут неотрицательными на промежутках, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; 0]$ и $[8; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [8; +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt[3]{x^2 - 25}$ содержит корень нечетной (третьей) степени. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, так как из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) можно извлечь кубический корень. Подкоренное выражение $x^2 - 25$ также определено для любого действительного значения $x$.

Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.

Ответ: $x$ — любое действительное число, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) Выражение $\sqrt{6x + x^2} + x$ содержит квадратный корень. Область допустимых значений определяется условием неотрицательности подкоренного выражения. Слагаемое $x$ определено для всех действительных чисел и не вносит дополнительных ограничений.

Решим неравенство:

$6x + x^2 \ge 0$

Перепишем в стандартном виде: $x^2 + 6x \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 6x = 0$:

$x(x + 6) = 0$

Корни уравнения:

$x_1 = 0$

$x_2 = -6$

Графиком функции $y = x^2 + 6x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны вне интервала между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -6]$ и $[0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [0; +\infty)$.

4) Выражение $x + \sqrt{4x^2 - 49}$ содержит квадратный корень. Область допустимых значений определяется условием неотрицательности подкоренного выражения. Слагаемое $x$ определено для всех действительных чисел.

Решим неравенство:

$4x^2 - 49 \ge 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 - 49 = 0$. Это разность квадратов $(2x)^2 - 7^2 = 0$.

$(2x - 7)(2x + 7) = 0$

Корни уравнения:

$2x - 7 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{7}{2} = 3.5$

$2x + 7 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{7}{2} = -3.5$

Графиком функции $y = 4x^2 - 49$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 4, что больше нуля). Значения функции неотрицательны вне интервала между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -3.5]$ и $[3.5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3.5] \cup [3.5; +\infty)$.