Номер 10.4, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10.4. Найдите множество, которому принадлежит решение иррационального уравнения:

1) $\sqrt{x+4} = x$;

2) $\sqrt{23-x} = x$;

3) $\sqrt{x^2-1} = 2x$;

4) $\sqrt{5x+x^2} = 3x$.

1)Исходное уравнение: $\sqrt{x + 4} = x$.

Для решения иррационального уравнения необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$. Правая часть уравнения, равная арифметическому квадратному корню, также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x + 4})^2 = x^2$

$x + 4 = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 4 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{17}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{17}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} > \sqrt{1} = 1$, то $1 - \sqrt{17} < 0$, следовательно, $x_1 < 0$. Этот корень является посторонним.

Корень $x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} > 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, множество решений уравнения состоит из одного элемента.

Ответ: $\{\frac{1 + \sqrt{17}}{2}\}$

2)Исходное уравнение: $\sqrt{23 - x} = x$.

Определим ОДЗ:

1. Подкоренное выражение: $23 - x \ge 0 \implies x \le 23$.

2. Правая часть: $x \ge 0$.

Итоговая ОДЗ: $x \in [0, 23]$.

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{23 - x})^2 = x^2$

$23 - x = x^2$

$x^2 + x - 23 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 1 + 92 = 93$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{93}}{2}$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{93}}{2}$

Проверяем корни по ОДЗ ($0 \le x \le 23$).

Корень $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{93}}{2} < 0$, не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.

Корень $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{93}}{2}$. Так как $9 < \sqrt{93} < 10$, то $8 < -1 + \sqrt{93} < 9$, и $4 < \frac{-1 + \sqrt{93}}{2} < 4.5$. Это значение входит в интервал $[0, 23]$, значит, является решением.

Множество решений уравнения состоит из одного элемента.

Ответ: $\{\frac{-1 + \sqrt{93}}{2}\}$

3)Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 1} = 2x$.

Определим ОДЗ:

1. Подкоренное выражение: $x^2 - 1 \ge 0 \implies (x-1)(x+1) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Правая часть: $2x \ge 0 \implies x \ge 0$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{x^2 - 1})^2 = (2x)^2$

$x^2 - 1 = 4x^2$

$3x^2 = -1$

$x^2 = -\frac{1}{3}$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет действительных решений.

Множество решений является пустым.

Ответ: $\emptyset$

4)Исходное уравнение: $\sqrt{5x + x^2} = 3x$.

Определим ОДЗ:

1. Подкоренное выражение: $5x + x^2 \ge 0 \implies x(5 + x) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -5] \cup [0, \infty)$.

2. Правая часть: $3x \ge 0 \implies x \ge 0$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{5x + x^2})^2 = (3x)^2$

$5x + x^2 = 9x^2$

$8x^2 - 5x = 0$

Выносим $x$ за скобки:

$x(8x - 5) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$8x - 5 = 0 \implies 8x = 5 \implies x_2 = \frac{5}{8}$

Оба корня, $x_1=0$ и $x_2=\frac{5}{8}$, удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Следовательно, уравнение имеет два решения.

Множество решений уравнения — это $\{0, \frac{5}{8}\}$.

Ответ: $\{0, \frac{5}{8}\}$