Номер 10.7, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10.7. Найдите допустимые значения переменной:

1) $\sqrt{\frac{x+1}{15-x}} + x;$

2) $\sqrt{\frac{x-7}{8-x}} - x;$

3) $\sqrt{\frac{x}{x^2-36}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}};$

4) $\sqrt{\frac{3}{x+2}} + \sqrt{\frac{4-x^2}{x+1}}.$

1) Область допустимых значений для выражения $\sqrt{\frac{x+1}{15-x}} + x$ определяется двумя условиями: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю. Слагаемое $x$ определено для любых действительных чисел и не накладывает дополнительных ограничений.

Таким образом, мы должны решить систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x+1}{15-x} \ge 0 \\ 15-x \neq 0\end{cases}$

Второе условие $x \neq 15$ уже учтено при решении первого неравенства, так как знаменатель не может быть равен нулю. Решим неравенство $\frac{x+1}{15-x} \ge 0$ методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$x+1=0 \Rightarrow x=-1$

$15-x=0 \Rightarrow x=15$

Отметим точки $-1$ (включительно, так как неравенство нестрогое) и $15$ (исключительно, так как это корень знаменателя) на числовой прямой и определим знаки выражения в полученных интервалах. Выражение $\frac{x+1}{15-x}$ положительно в интервале $(-1, 15)$ и равно нулю при $x=-1$.

Следовательно, допустимыми значениями переменной являются все числа из промежутка $[-1, 15)$.

Ответ: $x \in [-1, 15)$.

2) Для выражения $\sqrt{\frac{x-7}{8-x}} - x$ область допустимых значений определяется условием неотрицательности подкоренного выражения. Знаменатель также не должен быть равен нулю.

Решаем систему:

$\begin{cases} \frac{x-7}{8-x} \ge 0 \\ 8-x \neq 0\end{cases}$

Решим неравенство $\frac{x-7}{8-x} \ge 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

$x-7=0 \Rightarrow x=7$

$8-x=0 \Rightarrow x=8$

Отметим точки $7$ (включительно) и $8$ (исключительно) на числовой прямой. Выражение $\frac{x-7}{8-x}$ положительно в интервале $(7, 8)$ и равно нулю при $x=7$.

Таким образом, допустимые значения переменной принадлежат промежутку $[7, 8)$.

Ответ: $x \in [7, 8)$.

3) Выражение $\sqrt{\frac{x}{x^2-36}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}$ состоит из двух слагаемых. Область допустимых значений является пересечением областей допустимых значений для каждого слагаемого.

Для первого слагаемого $\sqrt{\frac{x}{x^2-36}}$ должно выполняться условие:

$\frac{x}{x^2-36} \ge 0 \Rightarrow \frac{x}{(x-6)(x+6)} \ge 0$.

Используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=0$, $x=-6$, $x=6$. Точки $-6$ и $6$ исключаются. Точка $x=0$ включается. Определив знаки в интервалах, получаем, что неравенство выполняется для $x \in (-6, 0] \cup (6, \infty)$.

Для второго слагаемого $\sqrt[3]{\frac{1}{x}}$, корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения. Единственное ограничение — знаменатель дроби под корнем не должен быть равен нулю:

$x \neq 0$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $x \in (-6, 0] \cup (6, \infty)$ и $x \neq 0$. Исключая точку $x=0$ из первого множества, получаем итоговую область допустимых значений.

Ответ: $x \in (-6, 0) \cup (6, \infty)$.

4) Для выражения $\sqrt{\frac{3}{x+2}} + \sqrt{\frac{4-x^2}{x+1}}$ необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} \frac{3}{x+2} \ge 0 \\ \frac{4-x^2}{x+1} \ge 0\end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $\frac{3}{x+2} \ge 0$. Так как числитель $3$ положителен, дробь будет неотрицательной, если знаменатель строго положителен:

$x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$.

Рассмотрим второе неравенство: $\frac{4-x^2}{x+1} \ge 0 \Rightarrow \frac{(2-x)(2+x)}{x+1} \ge 0$.

Решим его методом интервалов. Нули числителя: $x=2, x=-2$. Нуль знаменателя: $x=-1$. Определив знаки выражения в интервалах, получим, что неравенство выполняется для $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, 2]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > -2$ и $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, 2]$. Пересечение множества $x \in (-2, \infty)$ с множеством $(-\infty, -2] \cup (-1, 2]$ дает нам промежуток $(-1, 2]$.

Ответ: $x \in (-1, 2]$.