Номер 11.3, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

11.3. 1) $x + \sqrt{x+3} = 3;$

2) $\sqrt{2x+18} - 5 = x;$

3) $\sqrt[3]{x^3-8} + 2 = x;$

4) $\sqrt[3]{4x+3x^2} = x.$

1) $x + \sqrt{x+3} = 3$

Перенесем $x$ в правую часть уравнения, чтобы изолировать радикал:

$\sqrt{x+3} = 3 - x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, равная корню, также должна быть неотрицательной.

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 3-x \ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x \ge -3 \\ x \le 3 \end{cases} $

Следовательно, ОДЗ: $x \in [-3; 3]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+3})^2 = (3-x)^2$

$x+3 = 9 - 6x + x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - x + 9 - 3 = 0$

$x^2 - 7x + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 6. Корни уравнения:

$x_1 = 1$

$x_2 = 6$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \in [-3; 3]$).

Корень $x_1 = 1$ принадлежит ОДЗ.

Корень $x_2 = 6$ не принадлежит ОДЗ, поэтому является посторонним.

Выполним проверку для $x=1$, подставив его в исходное уравнение:

$1 + \sqrt{1+3} = 1 + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$.

$3 = 3$. Равенство верное.

Ответ: 1

2) $\sqrt{2x+18} - 5 = x$

Изолируем радикал в левой части уравнения:

$\sqrt{2x+18} = x + 5$

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 2x+18 \ge 0 \\ x+5 \ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} 2x \ge -18 \\ x \ge -5 \end{cases} $

$ \begin{cases} x \ge -9 \\ x \ge -5 \end{cases} $

Следовательно, ОДЗ: $x \ge -5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x+18})^2 = (x+5)^2$

$2x+18 = x^2 + 10x + 25$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$x^2 + 10x - 2x + 25 - 18 = 0$

$x^2 + 8x + 7 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна -8, произведение равно 7. Корни уравнения:

$x_1 = -1$

$x_2 = -7$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -5$).

Корень $x_1 = -1$ принадлежит ОДЗ.

Корень $x_2 = -7$ не принадлежит ОДЗ, является посторонним.

Проверим корень $x=-1$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2(-1)+18} - 5 = \sqrt{-2+18} - 5 = \sqrt{16} - 5 = 4 - 5 = -1$.

$-1 = -1$. Равенство верное.

Ответ: -1

3) $\sqrt[3]{x^3 - 8} + 2 = x$

Изолируем кубический корень:

$\sqrt[3]{x^3 - 8} = x - 2$

Так как корень нечетной степени, ОДЗ для $x$ - все действительные числа. Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{x^3 - 8})^3 = (x - 2)^3$

$x^3 - 8 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3$

$x^3 - 8 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Упростим уравнение:

$-8 = -6x^2 + 12x - 8$

$6x^2 - 12x = 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$6x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

Проверим оба корня:

Для $x=0$: $\sqrt[3]{0^3 - 8} + 2 = \sqrt[3]{-8} + 2 = -2 + 2 = 0$. Правая часть $x=0$. Равенство верное.

Для $x=2$: $\sqrt[3]{2^3 - 8} + 2 = \sqrt[3]{8 - 8} + 2 = \sqrt[3]{0} + 2 = 2$. Правая часть $x=2$. Равенство верное.

Ответ: 0; 2

4) $\sqrt[3]{4x + 3x^2} = x$

ОДЗ для $x$ - все действительные числа. Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{4x + 3x^2})^3 = x^3$

$4x + 3x^2 = x^3$

Перенесем все члены в правую часть и приравняем к нулю:

$x^3 - 3x^2 - 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x^2 - 3x - 4) = 0$

Это дает нам первый корень $x_1 = 0$ и квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 3, произведение равно -4. Корни:

$x_2 = 4$

$x_3 = -1$

Проверим все три корня:

Для $x=0$: $\sqrt[3]{4(0) + 3(0)^2} = \sqrt[3]{0} = 0$. Правая часть $x=0$. Равенство верное.

Для $x=4$: $\sqrt[3]{4(4) + 3(4)^2} = \sqrt[3]{16 + 48} = \sqrt[3]{64} = 4$. Правая часть $x=4$. Равенство верное.

Для $x=-1$: $\sqrt[3]{4(-1) + 3(-1)^2} = \sqrt[3]{-4 + 3} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Правая часть $x=-1$. Равенство верное.

Ответ: -1; 0; 4