Номер 11.9, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

11.9. 1) $\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} + \left(\frac{3}{4}x+2\right) \cdot \sqrt{9x^2-25} = 0;$

2) $\sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} + (3x+4) \cdot \sqrt{36x^2-25} = 0;$

3) $\frac{2}{\sqrt{2-x}} = \sqrt{\frac{x+6}{x+3}};$

4) $\frac{x+1}{\sqrt{3x+1}} = \sqrt{2x+1}.$

1) Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} + (\frac{3}{4}x+2) \cdot \sqrt{9x^2-25} = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться следующие условия:

1. $\frac{3x-5}{3x+5} \ge 0$

2. $3x+5 \ne 0 \Rightarrow x \ne -\frac{5}{3}$

3. $9x^2-25 \ge 0 \Rightarrow (3x-5)(3x+5) \ge 0$

Решая систему этих неравенств методом интервалов, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -5/3) \cup [5/3, +\infty)$.

Преобразуем второй корень в уравнении: $\sqrt{9x^2-25} = \sqrt{(3x-5)(3x+5)} = \sqrt{(3x+5)^2 \cdot \frac{3x-5}{3x+5}} = |3x+5|\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} + (\frac{3}{4}x+2)|3x+5|\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} = 0$.

Вынесем общий множитель $\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}}$ за скобки:

$\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} \left(1 + (\frac{3}{4}x+2)|3x+5|\right) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} = 0 \Rightarrow 3x-5=0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$. Этот корень входит в ОДЗ.

Случай 2: $1 + (\frac{3}{4}x+2)|3x+5| = 0$. Раскроем модуль в соответствии с ОДЗ.

а) При $x \ge 5/3$, имеем $3x+5 > 0$, поэтому $|3x+5|=3x+5$.

$1 + (\frac{3}{4}x+2)(3x+5) = 0$

$1 + \frac{9}{4}x^2 + \frac{15}{4}x + 6x + 10 = 0$

$\frac{9}{4}x^2 + \frac{39}{4}x + 11 = 0 \quad |\cdot 4$

$9x^2+39x+44=0$. Дискриминант $D = 39^2 - 4 \cdot 9 \cdot 44 = 1521 - 1584 = -63 < 0$. Действительных корней нет.

б) При $x < -5/3$, имеем $3x+5 < 0$, поэтому $|3x+5|=-(3x+5)$.

$1 - (\frac{3}{4}x+2)(3x+5) = 0$

$1 - (\frac{9}{4}x^2 + \frac{39}{4}x + 10) = 0$

$-\frac{9}{4}x^2 - \frac{39}{4}x - 9 = 0 \quad |\cdot (-4/3)$

$3x^2+13x+12=0$. Дискриминант $D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 169 - 144 = 25 = 5^2$.

$x_1 = \frac{-13 - 5}{6} = -3$. Корень входит в ОДЗ ($x < -5/3$).

$x_2 = \frac{-13 + 5}{6} = -\frac{4}{3}$. Корень не входит в ОДЗ, так как $-\frac{4}{3} > -\frac{5}{3}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $-3; \frac{5}{3}$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} + (3x+4) \cdot \sqrt{36x^2-25} = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $\frac{6x-5}{6x+5} \ge 0$

2. $6x+5 \ne 0 \Rightarrow x \ne -\frac{5}{6}$

3. $36x^2-25 \ge 0 \Rightarrow (6x-5)(6x+5) \ge 0$

Общая ОДЗ: $x \in (-\infty, -5/6) \cup [5/6, +\infty)$.

Преобразуем второй корень: $\sqrt{36x^2-25} = |6x+5|\sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}}$.

Подставим в уравнение и вынесем общий множитель за скобки:

$\sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} \left(1 + (3x+4)|6x+5|\right) = 0$.

Случай 1: $\sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} = 0 \Rightarrow 6x-5=0 \Rightarrow x = \frac{5}{6}$. Корень входит в ОДЗ.

Случай 2: $1 + (3x+4)|6x+5| = 0$.

а) При $x \ge 5/6$, имеем $|6x+5|=6x+5$.

$1 + (3x+4)(6x+5) = 0 \Rightarrow 1 + 18x^2 + 39x + 20 = 0 \Rightarrow 18x^2+39x+21=0 \Rightarrow 6x^2+13x+7=0$.

$D = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot 7 = 169 - 168 = 1$.

$x_1 = \frac{-13-1}{12} = -\frac{7}{6}$, $x_2 = \frac{-13+1}{12} = -1$. Оба корня не удовлетворяют условию $x \ge 5/6$.

б) При $x < -5/6$, имеем $|6x+5|=-(6x+5)$.

$1 - (3x+4)(6x+5) = 0 \Rightarrow 1 - (18x^2+39x+20) = 0 \Rightarrow -18x^2-39x-19=0 \Rightarrow 18x^2+39x+19=0$.

$D = 39^2 - 4 \cdot 18 \cdot 19 = 1521 - 1368 = 153$.

$x = \frac{-39 \pm \sqrt{153}}{36} = \frac{-39 \pm 3\sqrt{17}}{36} = \frac{-13 \pm \sqrt{17}}{12}$.

$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{17}}{12}$. $\sqrt{17} \approx 4.12$, $x_1 \approx \frac{-13+4.12}{12} \approx -0.74$. Так как $-5/6 \approx -0.83$, то $x_1 > -5/6$, корень не входит в ОДЗ.

$x_2 = \frac{-13 - \sqrt{17}}{12}$. $x_2 \approx \frac{-13-4.12}{12} \approx -1.43$. $x_2 < -5/6$, корень входит в ОДЗ.

Ответ: $\frac{-13 - \sqrt{17}}{12}; \frac{5}{6}$.

3) Исходное уравнение: $\frac{2}{\sqrt{2-x}} = \sqrt{\frac{x+6}{x+3}}$.

Найдем ОДЗ:

1. $2-x > 0 \Rightarrow x < 2$

2. $\frac{x+6}{x+3} \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -6] \cup (-3, +\infty)$

Объединив условия, получим ОДЗ: $x \in (-\infty, -6] \cup (-3, 2)$.

Обе части уравнения неотрицательны в ОДЗ, поэтому можно возвести обе части в квадрат:

$\left(\frac{2}{\sqrt{2-x}}\right)^2 = \left(\sqrt{\frac{x+6}{x+3}}\right)^2$

$\frac{4}{2-x} = \frac{x+6}{x+3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$4(x+3) = (x+6)(2-x)$

$4x+12 = 2x - x^2 + 12 - 6x$

$4x+12 = -x^2 - 4x + 12$

$x^2 + 8x = 0$

$x(x+8) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1=0$ и $x_2=-8$.

Проверим их на принадлежность ОДЗ $x \in (-\infty, -6] \cup (-3, 2)$.

$x_1=0$ принадлежит интервалу $(-3, 2)$.

$x_2=-8$ принадлежит интервалу $(-\infty, -6]$.

Оба корня подходят.

Ответ: $-8; 0$.

4) Исходное уравнение: $\frac{x+1}{\sqrt{3x+1}} = \sqrt{2x+1}$.

Найдем ОДЗ:

1. $3x+1 > 0 \Rightarrow x > -1/3$

2. $2x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1/2$

3. Правая часть $\sqrt{2x+1} \ge 0$, значит, и левая часть должна быть неотрицательной. Так как знаменатель $\sqrt{3x+1} > 0$, то требуется $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.

Пересечение всех условий ($x > -1/3$, $x \ge -1/2$, $x \ge -1$) дает итоговую ОДЗ: $x > -1/3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{(x+1)^2}{3x+1} = 2x+1$

$(x+1)^2 = (2x+1)(3x+1)$

$x^2+2x+1 = 6x^2+2x+3x+1$

$x^2+2x+1 = 6x^2+5x+1$

$5x^2+3x = 0$

$x(5x+3) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1=0$ и $x_2=-3/5$.

Проверим их на принадлежность ОДЗ $x > -1/3$.

$x_1=0$. Так как $0 > -1/3$, это является корнем.

$x_2=-3/5 = -0.6$. Так как $-0.6 < -1/3$, это посторонний корень.

Ответ: $0$.