Номер 6, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6. Решите уравнение $\sqrt{3x - 5} = x - 3$:

A 2,7;

B 7;

C 2;

D не имеет решения.

Данное уравнение является иррациональным: $\sqrt{3x - 5} = x - 3$.

Для решения таких уравнений необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ). Значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, и выражение под знаком корня также должно быть неотрицательным. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 3x - 5 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} 3x \ge 5 \\ x \ge 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge \frac{5}{3} \\ x \ge 3 \end{cases}$

Более строгим является второе неравенство, поэтому ОДЗ для данного уравнения: $x \ge 3$.

Теперь, когда ОДЗ определена, можно возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:

$(\sqrt{3x - 5})^2 = (x - 3)^2$

$3x - 5 = x^2 - 6x + 9$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - 3x + 9 + 5 = 0$

$x^2 - 9x + 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней равна $9$, а их произведение равно $14$. Корни легко находятся подбором:

$x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.

На последнем шаге необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 3$):

1. Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$ (так как $2 < 3$), следовательно, это посторонний корень, появившийся в результате возведения в квадрат.

2. Корень $x_2 = 7$ удовлетворяет условию $x \ge 3$ (так как $7 > 3$), следовательно, это действительный корень уравнения.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 7.