Номер 12.3, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.3. Перечислите свойства функции по ее графику (рис. 41):

1)

2)

Рис. 41

Формулы:

$y = (\frac{1}{3})^x - 2$

$y = 4^x - 1$

1)

Свойства функции $y = (\frac{1}{3})^x - 2$ на основе её графика:

1. Область определения: функция определена для всех действительных значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: значения функции строго больше -2. $E(y) = (-2; +\infty)$.

3. Четность/нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

4. Монотонность: функция является убывающей на всей своей области определения, так как основание степени $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$.

5. Пересечение с осями координат:

- с осью Oy: при $x=0$, $y = (\frac{1}{3})^0 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка пересечения $(0; -1)$.

- с осью Ox (нуль функции): при $y=0$, $(\frac{1}{3})^x - 2 = 0 \Rightarrow (\frac{1}{3})^x = 2 \Rightarrow x = \log_{1/3} 2$. Точка пересечения $(\log_{1/3} 2; 0)$.

6. Промежутки знакопостоянства:

- $y > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (-\infty; \log_{1/3} 2)$.

- $y < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in (\log_{1/3} 2; +\infty)$.

7. Асимптоты: график имеет горизонтальную асимптоту $y = -2$ при $x \to +\infty$.

8. Экстремумы: функция не имеет точек максимума или минимума.

Ответ: 1. $D(y) = (-\infty; +\infty)$; 2. $E(y) = (-2; +\infty)$; 3. Функция общего вида; 4. Убывает на $(-\infty; +\infty)$; 5. Пересечение с Oy: $(0; -1)$, пересечение с Ox: $(\log_{1/3} 2; 0)$; 6. $y > 0$ при $x < \log_{1/3} 2$, $y < 0$ при $x > \log_{1/3} 2$; 7. Горизонтальная асимптота $y = -2$; 8. Экстремумов нет.

2)

Свойства функции $y = 4^{x-1} - 1$ на основе её графика:

1. Область определения: функция определена для всех действительных значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: значения функции строго больше -1. $E(y) = (-1; +\infty)$.

3. Четность/нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

4. Монотонность: функция является возрастающей на всей своей области определения, так как основание степени $a = 4$ больше 1.

5. Пересечение с осями координат:

- с осью Oy: при $x=0$, $y = 4^{0-1} - 1 = 4^{-1} - 1 = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$. Точка пересечения $(0; -\frac{3}{4})$.

- с осью Ox (нуль функции): при $y=0$, $4^{x-1} - 1 = 0 \Rightarrow 4^{x-1} = 1 \Rightarrow x-1 = 0 \Rightarrow x=1$. Точка пересечения $(1; 0)$.

6. Промежутки знакопостоянства:

- $y > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (1; +\infty)$.

- $y < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in (-\infty; 1)$.

7. Асимптоты: график имеет горизонтальную асимптоту $y = -1$ при $x \to -\infty$.

8. Экстремумы: функция не имеет точек максимума или минимума.

Ответ: 1. $D(y) = (-\infty; +\infty)$; 2. $E(y) = (-1; +\infty)$; 3. Функция общего вида; 4. Возрастает на $(-\infty; +\infty)$; 5. Пересечение с Oy: $(0; -3/4)$, пересечение с Ox: $(1; 0)$; 6. $y > 0$ при $x > 1$, $y < 0$ при $x < 1$; 7. Горизонтальная асимптота $y = -1$; 8. Экстремумов нет.