Номер 12.9, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.9. Найдите число точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$:

1) $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 3x$;

2) $f(x) = \left(\frac{1}{6}\right)^x$ и $g(x) = x^2$;

3) $f(x) = 7^x$ и $g(x) = \frac{1}{x}$;

4) $f(x) = \left(\frac{3}{4}\right)^x$ и $g(x) = x^3$.

1) $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 3x$

• $f(x)$ — показательная функция, быстро растет при $x \to \infty$. $g(x)$ — линейная функция.
• В точке $x = 1$: $f(1) = 3$ и $g(1) = 3$. Это первая точка пересечения.
• В точке $x = 2$: $f(2) = 9$ и $g(2) = 6$. Экспонента стала выше прямой.
• При $x < 1$, например $x = 0$: $f(0) = 1$, $g(0) = 0$.
• Если рассмотреть значения между 0 и 1, можно заметить, что графики пересекаются еще один раз (примерно при $x \approx 0,45$).
• При $x < 0$ показательная функция положительна, а прямая отрицательна — пересечений нет.

Ответ: 2 точки.

2) $f(x) = (1/6)^x$ и $g(x) = x^2$

• $f(x)$ — убывающая показательная функция ($0 < 1/6 < 1$). При $x \to \infty$ стремится к 0, при $x \to -\infty$ стремится к $+\infty$.
• $g(x) = x^2$ — парабола, ветви направлены вверх.
• При $x \ge 0$: $f(x)$ убывает от 1 до 0, а $g(x)$ растет от 0. Они пересекутся ровно 1 раз.
• При $x < 0$: $f(x)$ растет очень быстро (экспоненциально), а $x^2$ — медленнее (степенная функция). Поскольку $f(-1) = 6$ и $g(-1) = 1$, а при очень больших отрицательных $x$ экспонента всегда будет выше, здесь точек пересечения нет.

Ответ: 1 точка.

3) $f(x) = 7^x$ и $g(x) = 1/x$

• $f(x)$ всегда положительна.
• При $x < 0$: $g(x) = 1/x$ отрицательна. Пересечений нет.
• При $x > 0$: $f(x)$ — возрастающая функция (от 1 до $+\infty$), $g(x)$ — убывающая функция (от $+\infty$ до 0).
• Так как одна функция непрерывно растет, а другая непрерывно убывает на интервале $(0; +\infty)$, они обязательно встретятся ровно 1 раз.

Ответ: 1 точка.

4) $f(x) = (3/4)^x$ и $g(x) = x^3$

• При $x \le 0$: $f(x) > 0$, а $g(x) \le 0$. Пересечений нет.
• При $x > 0$: $f(x)$ убывает от 1 до 0. $g(x) = x^3$ растет от 0 до $+\infty$.
• В силу монотонности (одна падает, другая растет), графики пересекутся ровно 1 раз в первой четверти.

Ответ: 1 точка.