Номер 12.9, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.9. Найдите число точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$:

1) $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 3x$;

2) $f(x) = \left(\frac{1}{6}\right)^x$ и $g(x) = x^2$;

3) $f(x) = 7^x$ и $g(x) = \frac{1}{x}$;

4) $f(x) = \left(\frac{3}{4}\right)^x$ и $g(x) = x^3$.

1) Чтобы найти число точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$, нужно найти количество решений уравнения $f(x)=g(x)$, то есть $3^x = 3x$.Рассмотрим функции $f(x)=3^x$ и $g(x)=3x$.Функция $f(x)=3^x$ является показательной, она строго возрастающая и выпуклая вниз. График функции $g(x)=3x$ — это прямая, проходящая через начало координат. Выпуклая функция и прямая могут иметь не более двух точек пересечения.Проверим некоторые значения. При $x=1$ получаем $f(1)=3^1=3$ и $g(1)=3 \cdot 1=3$. Значит, $x=1$ — это одна точка пересечения.Рассмотрим поведение функций. При $x=0$, $f(0)=1$ и $g(0)=0$, то есть $f(x)>g(x)$. При $x=2$, $f(2)=9$ и $g(2)=6$, то есть $f(x)>g(x)$.Для более точного анализа исследуем функцию $h(x) = 3^x - 3x$. Найдем ее производную: $h'(x) = 3^x \ln 3 - 3$.Приравняем производную к нулю, чтобы найти точку экстремума: $3^x \ln 3 - 3 = 0 \implies 3^x = \frac{3}{\ln 3}$.Точка минимума $x_0 = \log_3(\frac{3}{\ln 3}) = 1 - \log_3(\ln 3)$. Так как $\ln 3 \approx 1.0986 > 1$, то $\log_3(\ln 3) > 0$, следовательно $x_0 < 1$.Значение функции в точке минимума $h(x_0) = \frac{3}{\ln 3} - 3x_0 < 0$ (как показывает более детальный анализ).Поскольку $\lim_{x \to -\infty} h(x) = +\infty$ и $\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$, а минимальное значение функции отрицательно, то график функции $h(x)$ пересекает ось абсцисс дважды. Следовательно, уравнение $3^x = 3x$ имеет два корня.Ответ: 2.

2) Нам нужно найти количество решений уравнения $(\frac{1}{6})^x = x^2$.Рассмотрим графики функций $f(x) = (\frac{1}{6})^x$ и $g(x) = x^2$.1. При $x>0$: функция $f(x)$ является строго убывающей (от $1$ до $0$), а функция $g(x)$ — строго возрастающей (от $0$ до $+\infty$). Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более одного раза.При $x \to 0^+$, $f(x) \to 1$, а $g(x) \to 0$, то есть $f(x) > g(x)$.При $x=1$, $f(1) = 1/6$, а $g(1)=1$, то есть $f(x) < g(x)$.Поскольку обе функции непрерывны, на интервале $(0, 1)$ существует одна точка пересечения.2. При $x=0$: $f(0) = (\frac{1}{6})^0 = 1$, $g(0)=0^2=0$. Точки пересечения нет.3. При $x<0$: $f(x) = (\frac{1}{6})^x > 0$ и $g(x) = x^2 > 0$. Функция $f(x)=6^{-x}$ является строго возрастающей, а функция $g(x)=x^2$ — строго убывающей. Они могут пересечься не более одного раза.Однако, при $x<0$ функция $f(x)=6^{-x}$ растет экспоненциально, в то время как $g(x)=x^2$ растет квадратично.Рассмотрим $x=-1$: $f(-1)=6$, $g(-1)=1$. $f(x) > g(x)$.При $x \to -\infty$ функция $f(x)$ растет гораздо быстрее, чем $g(x)$, поэтому $f(x)>g(x)$ для всех $x$, достаточно удаленных от нуля. Можно показать, что функция $h(x) = f(x)-g(x)$ для $x<0$ всегда положительна. Таким образом, при $x<0$ точек пересечения нет.Объединяя все случаи, получаем одну точку пересечения.Ответ: 1.

3) Нам нужно найти количество решений уравнения $7^x = \frac{1}{x}$.Рассмотрим графики функций $f(x)=7^x$ и $g(x)=\frac{1}{x}$.Функция $f(x)=7^x$ всегда положительна ($7^x>0$ для любого $x$). Равенство возможно только если $g(x)=\frac{1}{x}$ тоже положительна, что выполняется только при $x>0$.Таким образом, мы ищем точки пересечения только для $x>0$.На интервале $(0, +\infty)$:- $f(x)=7^x$ является строго возрастающей функцией.- $g(x)=\frac{1}{x}$ является строго убывающей функцией.Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более одного раза.Проверим, есть ли пересечение.При $x \to 0^+$, $f(x) \to 7^0 = 1$, а $g(x) \to +\infty$. Значит, $g(x)>f(x)$.При $x=1$, $f(1)=7^1=7$, а $g(1)=\frac{1}{1}=1$. Значит, $f(x)>g(x)$.Так как обе функции непрерывны на $(0, +\infty)$ и разность $f(x)-g(x)$ меняет знак, то по теореме о промежуточном значении существует точка пересечения. В силу монотонности она единственная.Ответ: 1.

4) Нам нужно найти количество решений уравнения $(\frac{3}{4})^x = x^3$.Рассмотрим графики функций $f(x) = (\frac{3}{4})^x$ и $g(x) = x^3$.1. При $x \le 0$:Функция $f(x) = (\frac{3}{4})^x$ положительна. При $x=0$, $f(0)=1$. При $x<0$, $f(x)>1$.Функция $g(x)=x^3$ неположительна. При $x=0$, $g(0)=0$. При $x<0$, $g(x)<0$.Следовательно, при $x \le 0$ равенство $f(x)=g(x)$ невозможно, точек пересечения нет.2. При $x > 0$:- $f(x) = (\frac{3}{4})^x$ является строго убывающей функцией (от $1$ до $0$).- $g(x)=x^3$ является строго возрастающей функцией (от $0$ до $+\infty$).Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересечься не более одного раза.Проверим, есть ли пересечение.При $x \to 0^+$, $f(x) \to (\frac{3}{4})^0 = 1$, а $g(x) \to 0^3=0$. Значит, $f(x)>g(x)$.При $x=1$, $f(1)=\frac{3}{4}$, а $g(1)=1^3=1$. Значит, $f(x)