Номер 12.12, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.12. Сравните:

1) $(\left(\sqrt{3}\right)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$ и $3^{1.5}$;

2) $\left(\frac{1}{6}\right)^{\sqrt{5}}$ и $6^{-2.25}$;

3) $(7 - 4\sqrt{3})^{-3.5}$ и $(7 - 4\sqrt{3})^{3.5}$;

4) $(5 + 2\sqrt{6})^{3.3}$ и $(5 + 2\sqrt{6})^{-3.1}$.

1) Сравним числа $(\sqrt{3}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$ и $3^{1,5}$.

Преобразуем первое выражение, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\sqrt{3}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{3}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{3}^2 = 3$.

Таким образом, задача сводится к сравнению чисел $3^1$ и $3^{1,5}$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей.

Поскольку показатели степеней соотносятся как $1 < 1,5$, то и значения степеней соотносятся так же: $3^1 < 3^{1,5}$.

Следовательно, $(\sqrt{3}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} < 3^{1,5}$.

Ответ: $(\sqrt{3}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} < 3^{1,5}$.

2) Сравним числа $(\frac{1}{6})^{\sqrt{5}}$ и $6^{-2,25}$.

Приведем оба выражения к одному основанию 6.

Первое выражение: $(\frac{1}{6})^{\sqrt{5}} = (6^{-1})^{\sqrt{5}} = 6^{-\sqrt{5}}$.

Теперь сравним выражения $6^{-\sqrt{5}}$ и $6^{-2,25}$.

Так как основание $6 > 1$, функция $y=6^x$ возрастающая. Сравнение степеней сводится к сравнению их показателей: $-\sqrt{5}$ и $-2,25$.

Для этого сравним положительные числа $\sqrt{5}$ и $2,25$. Возведем их в квадрат:

$(\sqrt{5})^2 = 5$.

$2,25^2 = (\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{16} = 5,0625$.

Так как $5 < 5,0625$, то $\sqrt{5} < 2,25$.

При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный: $-\sqrt{5} > -2,25$.

Поскольку функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение степени: $6^{-\sqrt{5}} > 6^{-2,25}$.

Ответ: $(\frac{1}{6})^{\sqrt{5}} > 6^{-2,25}$.

3) Сравним числа $(7 - 4\sqrt{3})^{-3,5}$ и $(7 - 4\sqrt{3})^{3,5}$.

Оценим основание степени $a = 7 - 4\sqrt{3}$.

Сравним $7$ и $4\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $7^2=49$, а $(4\sqrt{3})^2=16 \cdot 3 = 48$. Так как $49 > 48$, то $7 > 4\sqrt{3}$, следовательно, $a = 7 - 4\sqrt{3} > 0$.

Теперь сравним $a$ с 1. Сравним $7 - 4\sqrt{3}$ и $1$, что эквивалентно сравнению $6$ и $4\sqrt{3}$, или $3$ и $2\sqrt{3}$. Возведем в квадрат: $3^2=9$, а $(2\sqrt{3})^2=4 \cdot 3=12$. Так как $9 < 12$, то $3 < 2\sqrt{3}$, значит $6 < 4\sqrt{3}$ и $7 - 1 < 4\sqrt{3}$, откуда $7 - 4\sqrt{3} < 1$.

Итак, основание $0 < a < 1$.

Показательная функция $y=a^x$ с основанием $0 < a < 1$ является убывающей.

Сравним показатели степеней: $-3,5$ и $3,5$. Очевидно, что $-3,5 < 3,5$.

Так как функция убывающая, меньшему значению показателя соответствует большее значение функции. Следовательно, $(7 - 4\sqrt{3})^{-3,5} > (7 - 4\sqrt{3})^{3,5}$.

Ответ: $(7 - 4\sqrt{3})^{-3,5} > (7 - 4\sqrt{3})^{3,5}$.

4) Сравним числа $(5 + 2\sqrt{6})^{3,3}$ и $(5 + 2\sqrt{6})^{-3,1}$.

Основание степени $a = 5 + 2\sqrt{6}$. Так как $5 > 0$ и $2\sqrt{6} > 0$, то $a = 5 + 2\sqrt{6} > 5$, и, следовательно, $a > 1$.

Показательная функция $y=a^x$ с основанием $a > 1$ является возрастающей.

Сравним показатели степеней: $3,3$ и $-3,1$.

$3,3 > -3,1$.

Так как функция возрастающая, большему значению показателя соответствует большее значение функции. Следовательно, $(5 + 2\sqrt{6})^{3,3} > (5 + 2\sqrt{6})^{-3,1}$.

Ответ: $(5 + 2\sqrt{6})^{3,3} > (5 + 2\sqrt{6})^{-3,1}$.