Номер 12.8, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.8. Упростите:

1) $ \left( \frac{1}{a} \right)^{2+\sqrt{3}} \cdot a^{\sqrt{3}+2};$

2) $ (a^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}} \cdot (a^{\sqrt{3}+1} : a^{\sqrt{3}});$

3) $ b^{3.5} : (b\sqrt{b^3});$

4) $ b^{\sqrt{5}} \cdot b^{1.4} : \sqrt[4]{b^4\sqrt{5}}.$

1) Для упрощения этого выражения воспользуемся свойствами степеней. Сначала представим дробь $\frac{1}{a}$ в виде степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a} = a^{-1}$.

Тогда первый множитель можно переписать как $(a^{-1})^{2+\sqrt{3}}$.

Применяя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем:

$(a^{-1})^{2+\sqrt{3}} = a^{-1 \cdot (2+\sqrt{3})} = a^{-2-\sqrt{3}}$.

Теперь исходное выражение выглядит так: $a^{-2-\sqrt{3}} \cdot a^{\sqrt{3}+2}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются по правилу $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^{(-2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}+2)} = a^{-2-\sqrt{3}+\sqrt{3}+2} = a^0$.

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

Ответ: $1$.

2) Упростим данное выражение по частям. Рассмотрим первый множитель $(a^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}}$. По правилу возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(a^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}} = a^{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = a^6$.

Теперь упростим выражение во вторых скобках $(a^{\sqrt{5}+1} : a^{\sqrt{5}})$. По правилу деления степеней с одинаковым основанием $x^m : x^n = x^{m-n}$:

$a^{\sqrt{5}+1} : a^{\sqrt{5}} = a^{(\sqrt{5}+1) - \sqrt{5}} = a^{\sqrt{5}+1-\sqrt{5}} = a^1 = a$.

Теперь перемножим полученные результаты, используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^6 \cdot a = a^{6+1} = a^7$.

Ответ: $a^7$.

3) Сначала упростим выражение в скобках, которое является делителем: $(b\sqrt{b^3})$.

Представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt{b^3} = b^{\frac{3}{2}}$.

Тогда делитель можно записать как произведение степеней: $b \cdot b^{\frac{3}{2}} = b^1 \cdot b^{\frac{3}{2}}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $b^{1 + \frac{3}{2}} = b^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} = b^{\frac{5}{2}}$.

Теперь вернемся к исходному выражению. Представим показатель $3,5$ в виде обыкновенной дроби: $3,5 = \frac{7}{2}$.

Выражение принимает вид: $b^{\frac{7}{2}} : b^{\frac{5}{2}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

$b^{\frac{7}{2} - \frac{5}{2}} = b^{\frac{7-5}{2}} = b^{\frac{2}{2}} = b^1 = b$.

Ответ: $b$.

4) Для упрощения этого выражения будем последовательно применять свойства степеней. Преобразуем последний член, представив корень в виде дробной степени $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$. Учитывая, что в подобных задачах обычно происходит значительное упрощение, наиболее вероятная форма нечетко записанного члена — $\sqrt[5]{b^{5\sqrt{5}}}$.

$\sqrt[5]{b^{5\sqrt{5}}} = (b^{5\sqrt{5}})^{\frac{1}{5}}$.

При возведении степени в степень показатели перемножаются: $b^{5\sqrt{5} \cdot \frac{1}{5}} = b^{\sqrt{5}}$.

Теперь исходное выражение можно записать так: $b^{\sqrt{5}} \cdot b^{1,4} : b^{\sqrt{5}}$.

При умножении и делении степеней с одинаковым основанием их показатели соответственно складываются и вычитаются. Объединим все операции с показателями:

$b^{\sqrt{5} + 1,4 - \sqrt{5}}$.

Упростим показатель: $\sqrt{5} + 1,4 - \sqrt{5} = 1,4$.

В итоге получаем $b^{1,4}$.

Ответ: $b^{1,4}$.