Номер 12.5, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.5. Сравните числа:

1) $1,8^3$ и $2^3$;

2) $0,8^2$ и $0,54$;

3) $0,5^3$ и $0,5^7$;

4) $3,2^{1,6}$ и $3,2^{1,7}$;

5) $0,2^{\sqrt{2}}$ и $0,2^{1,4}$;

6) $3^\pi$ и $3^{3,149}$.

1) В данном случае показатели степеней одинаковы и равны 3. Основания степеней различны: $1,8$ и $2$. Поскольку $1,8 < 2$, а показатель степени $3 > 0$, то при возведении в одну и ту же положительную степень меньшее основание даст меньший результат. Следовательно, $1,8^3 < 2^3$.

Ответ: $1,8^3 < 2^3$.

2) Для сравнения чисел $0,8^2$ и $0,54$ сначала вычислим значение $0,8^2$. $0,8^2 = 0,8 \times 0,8 = 0,64$. Теперь сравним полученное значение с числом $0,54$. Так как $0,64 > 0,54$, то и $0,8^2 > 0,54$.

Ответ: $0,8^2 > 0,54$.

3) Здесь основания степеней одинаковы и равны $0,5$. Основание $a=0,5$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Показательная функция $y=a^x$ при $0 < a < 1$ является убывающей. Это означает, что для двух любых значений $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$. В нашем случае $x_1=3$ и $x_2=7$. Так как $3 < 7$, то $0,5^3 > 0,5^7$.

Ответ: $0,5^3 > 0,5^7$.

4) В этом примере основания степеней одинаковы и равны $3,2$. Основание $a=3,2$ удовлетворяет условию $a > 1$. Показательная функция $y=a^x$ при $a > 1$ является возрастающей. Это означает, что для двух любых значений $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$. В нашем случае $x_1=1,6$ и $x_2=1,7$. Так как $1,6 < 1,7$, то $3,2^{1,6} < 3,2^{1,7}$.

Ответ: $3,2^{1,6} < 3,2^{1,7}$.

5) Основания степеней одинаковы и равны $0,2$. Так как основание $a=0,2$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=0,2^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $\sqrt{2}$ и $1,4$. Мы знаем, что $1,4^2 = 1,96$, а $(\sqrt{2})^2 = 2$. Так как $2 > 1,96$, то $\sqrt{2} > 1,4$. Поскольку функция убывающая, большему показателю степени соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $0,2^{\sqrt{2}} < 0,2^{1,4}$.

Ответ: $0,2^{\sqrt{2}} < 0,2^{1,4}$.

6) Основания степеней одинаковы и равны $3$. Так как основание $a=3$ больше 1, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\pi$ и $3,149$. Значение числа $\pi$ (пи) приблизительно равно $3,14159...$. Таким образом, $\pi < 3,149$. Поскольку функция возрастающая, меньшему показателю степени соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $3^\pi < 3^{3,149}$.

Ответ: $3^\pi < 3^{3,149}$.