Номер 12.11, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.11. Найдите множество значений функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 4^x - 5,6$;

2) $f(x) = (0,35)^x + 3$;

3) $f(x) = (\frac{2}{5})^{x+1} - 1$;

4) $f(x) = 1 - 3^x$.

1) Чтобы найти множество значений функции $f(x) = 4^x - 5,6$, проанализируем её составляющие. Множество значений показательной функции $y = 4^x$ — это все положительные числа, то есть интервал $(0; +\infty)$. Это можно записать в виде неравенства: $4^x > 0$.

Функция $f(x)$ получается из $4^x$ вычитанием константы $5,6$. Вычтем $5,6$ из обеих частей неравенства:

$4^x - 5,6 > 0 - 5,6$

$f(x) > -5,6$

Следовательно, множество значений функции — это все числа, строго большие $-5,6$.

Ответ: $(-5,6; +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = (0,35)^x + 3$. Аналогично предыдущему пункту, сначала определим множество значений показательной части $(0,35)^x$. Так как основание $0,35$ положительно и не равно 1, значения этого выражения всегда строго больше нуля:

$(0,35)^x > 0$

Функция $f(x)$ получается прибавлением к $(0,35)^x$ числа 3. Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$(0,35)^x + 3 > 0 + 3$

$f(x) > 3$

Таким образом, множество значений функции — это все числа, строго большие 3.

Ответ: $(3; +\infty)$.

3) Рассмотрим функцию $f(x) = (\frac{2}{5})^{x+1} - 1$. Множество значений показательного выражения $y = a^z$ не зависит от вида показателя $z$, если он может принимать любые действительные значения. В данном случае показатель $z=x+1$ пробегает все действительные числа, когда $x$ пробегает все действительные числа. Основание $\frac{2}{5}$ положительно, поэтому:

$(\frac{2}{5})^{x+1} > 0$

Теперь вычтем 1 из обеих частей этого неравенства, чтобы получить $f(x)$:

$(\frac{2}{5})^{x+1} - 1 > 0 - 1$

$f(x) > -1$

Множество значений функции — это все числа, строго большие $-1$.

Ответ: $(-1; +\infty)$.

4) Рассмотрим функцию $f(x) = 1 - 3^x$. Начнём с показательной части $3^x$. Её множество значений — $(0; +\infty)$, то есть:

$3^x > 0$

В формуле функции стоит $-3^x$. Чтобы получить это выражение, умножим неравенство на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-3^x < 0$

Наконец, прибавим 1 к обеим частям, чтобы получить выражение для $f(x)$:

$1 - 3^x < 1 + 0$

$f(x) < 1$

Следовательно, множество значений функции — это все числа, строго меньшие 1.

Ответ: $(-\infty; 1)$.