Страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.8. Упростите:

1) $ \left( \frac{1}{a} \right)^{2+\sqrt{3}} \cdot a^{\sqrt{3}+2};$

2) $ (a^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}} \cdot (a^{\sqrt{3}+1} : a^{\sqrt{3}});$

3) $ b^{3.5} : (b\sqrt{b^3});$

4) $ b^{\sqrt{5}} \cdot b^{1.4} : \sqrt[4]{b^4\sqrt{5}}.$

1) Для упрощения этого выражения воспользуемся свойствами степеней. Сначала представим дробь $\frac{1}{a}$ в виде степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a} = a^{-1}$.

Тогда первый множитель можно переписать как $(a^{-1})^{2+\sqrt{3}}$.

Применяя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем:

$(a^{-1})^{2+\sqrt{3}} = a^{-1 \cdot (2+\sqrt{3})} = a^{-2-\sqrt{3}}$.

Теперь исходное выражение выглядит так: $a^{-2-\sqrt{3}} \cdot a^{\sqrt{3}+2}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются по правилу $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^{(-2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}+2)} = a^{-2-\sqrt{3}+\sqrt{3}+2} = a^0$.

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

Ответ: $1$.

2) Упростим данное выражение по частям. Рассмотрим первый множитель $(a^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}}$. По правилу возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(a^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}} = a^{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = a^6$.

Теперь упростим выражение во вторых скобках $(a^{\sqrt{5}+1} : a^{\sqrt{5}})$. По правилу деления степеней с одинаковым основанием $x^m : x^n = x^{m-n}$:

$a^{\sqrt{5}+1} : a^{\sqrt{5}} = a^{(\sqrt{5}+1) - \sqrt{5}} = a^{\sqrt{5}+1-\sqrt{5}} = a^1 = a$.

Теперь перемножим полученные результаты, используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^6 \cdot a = a^{6+1} = a^7$.

Ответ: $a^7$.

3) Сначала упростим выражение в скобках, которое является делителем: $(b\sqrt{b^3})$.

Представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt{b^3} = b^{\frac{3}{2}}$.

Тогда делитель можно записать как произведение степеней: $b \cdot b^{\frac{3}{2}} = b^1 \cdot b^{\frac{3}{2}}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $b^{1 + \frac{3}{2}} = b^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} = b^{\frac{5}{2}}$.

Теперь вернемся к исходному выражению. Представим показатель $3,5$ в виде обыкновенной дроби: $3,5 = \frac{7}{2}$.

Выражение принимает вид: $b^{\frac{7}{2}} : b^{\frac{5}{2}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

$b^{\frac{7}{2} - \frac{5}{2}} = b^{\frac{7-5}{2}} = b^{\frac{2}{2}} = b^1 = b$.

Ответ: $b$.

4) Для упрощения этого выражения будем последовательно применять свойства степеней. Преобразуем последний член, представив корень в виде дробной степени $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$. Учитывая, что в подобных задачах обычно происходит значительное упрощение, наиболее вероятная форма нечетко записанного члена — $\sqrt[5]{b^{5\sqrt{5}}}$.

$\sqrt[5]{b^{5\sqrt{5}}} = (b^{5\sqrt{5}})^{\frac{1}{5}}$.

При возведении степени в степень показатели перемножаются: $b^{5\sqrt{5} \cdot \frac{1}{5}} = b^{\sqrt{5}}$.

Теперь исходное выражение можно записать так: $b^{\sqrt{5}} \cdot b^{1,4} : b^{\sqrt{5}}$.

При умножении и делении степеней с одинаковым основанием их показатели соответственно складываются и вычитаются. Объединим все операции с показателями:

$b^{\sqrt{5} + 1,4 - \sqrt{5}}$.

Упростим показатель: $\sqrt{5} + 1,4 - \sqrt{5} = 1,4$.

В итоге получаем $b^{1,4}$.

Ответ: $b^{1,4}$.

12.9. Найдите число точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$:

1) $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 3x$;

2) $f(x) = \left(\frac{1}{6}\right)^x$ и $g(x) = x^2$;

3) $f(x) = 7^x$ и $g(x) = \frac{1}{x}$;

4) $f(x) = \left(\frac{3}{4}\right)^x$ и $g(x) = x^3$.

1) Чтобы найти число точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$, нужно найти количество решений уравнения $f(x)=g(x)$, то есть $3^x = 3x$.Рассмотрим функции $f(x)=3^x$ и $g(x)=3x$.Функция $f(x)=3^x$ является показательной, она строго возрастающая и выпуклая вниз. График функции $g(x)=3x$ — это прямая, проходящая через начало координат. Выпуклая функция и прямая могут иметь не более двух точек пересечения.Проверим некоторые значения. При $x=1$ получаем $f(1)=3^1=3$ и $g(1)=3 \cdot 1=3$. Значит, $x=1$ — это одна точка пересечения.Рассмотрим поведение функций. При $x=0$, $f(0)=1$ и $g(0)=0$, то есть $f(x)>g(x)$. При $x=2$, $f(2)=9$ и $g(2)=6$, то есть $f(x)>g(x)$.Для более точного анализа исследуем функцию $h(x) = 3^x - 3x$. Найдем ее производную: $h'(x) = 3^x \ln 3 - 3$.Приравняем производную к нулю, чтобы найти точку экстремума: $3^x \ln 3 - 3 = 0 \implies 3^x = \frac{3}{\ln 3}$.Точка минимума $x_0 = \log_3(\frac{3}{\ln 3}) = 1 - \log_3(\ln 3)$. Так как $\ln 3 \approx 1.0986 > 1$, то $\log_3(\ln 3) > 0$, следовательно $x_0 < 1$.Значение функции в точке минимума $h(x_0) = \frac{3}{\ln 3} - 3x_0 < 0$ (как показывает более детальный анализ).Поскольку $\lim_{x \to -\infty} h(x) = +\infty$ и $\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$, а минимальное значение функции отрицательно, то график функции $h(x)$ пересекает ось абсцисс дважды. Следовательно, уравнение $3^x = 3x$ имеет два корня.Ответ: 2.

2) Нам нужно найти количество решений уравнения $(\frac{1}{6})^x = x^2$.Рассмотрим графики функций $f(x) = (\frac{1}{6})^x$ и $g(x) = x^2$.1. При $x>0$: функция $f(x)$ является строго убывающей (от $1$ до $0$), а функция $g(x)$ — строго возрастающей (от $0$ до $+\infty$). Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более одного раза.При $x \to 0^+$, $f(x) \to 1$, а $g(x) \to 0$, то есть $f(x) > g(x)$.При $x=1$, $f(1) = 1/6$, а $g(1)=1$, то есть $f(x) < g(x)$.Поскольку обе функции непрерывны, на интервале $(0, 1)$ существует одна точка пересечения.2. При $x=0$: $f(0) = (\frac{1}{6})^0 = 1$, $g(0)=0^2=0$. Точки пересечения нет.3. При $x<0$: $f(x) = (\frac{1}{6})^x > 0$ и $g(x) = x^2 > 0$. Функция $f(x)=6^{-x}$ является строго возрастающей, а функция $g(x)=x^2$ — строго убывающей. Они могут пересечься не более одного раза.Однако, при $x<0$ функция $f(x)=6^{-x}$ растет экспоненциально, в то время как $g(x)=x^2$ растет квадратично.Рассмотрим $x=-1$: $f(-1)=6$, $g(-1)=1$. $f(x) > g(x)$.При $x \to -\infty$ функция $f(x)$ растет гораздо быстрее, чем $g(x)$, поэтому $f(x)>g(x)$ для всех $x$, достаточно удаленных от нуля. Можно показать, что функция $h(x) = f(x)-g(x)$ для $x<0$ всегда положительна. Таким образом, при $x<0$ точек пересечения нет.Объединяя все случаи, получаем одну точку пересечения.Ответ: 1.

3) Нам нужно найти количество решений уравнения $7^x = \frac{1}{x}$.Рассмотрим графики функций $f(x)=7^x$ и $g(x)=\frac{1}{x}$.Функция $f(x)=7^x$ всегда положительна ($7^x>0$ для любого $x$). Равенство возможно только если $g(x)=\frac{1}{x}$ тоже положительна, что выполняется только при $x>0$.Таким образом, мы ищем точки пересечения только для $x>0$.На интервале $(0, +\infty)$:- $f(x)=7^x$ является строго возрастающей функцией.- $g(x)=\frac{1}{x}$ является строго убывающей функцией.Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более одного раза.Проверим, есть ли пересечение.При $x \to 0^+$, $f(x) \to 7^0 = 1$, а $g(x) \to +\infty$. Значит, $g(x)>f(x)$.При $x=1$, $f(1)=7^1=7$, а $g(1)=\frac{1}{1}=1$. Значит, $f(x)>g(x)$.Так как обе функции непрерывны на $(0, +\infty)$ и разность $f(x)-g(x)$ меняет знак, то по теореме о промежуточном значении существует точка пересечения. В силу монотонности она единственная.Ответ: 1.

4) Нам нужно найти количество решений уравнения $(\frac{3}{4})^x = x^3$.Рассмотрим графики функций $f(x) = (\frac{3}{4})^x$ и $g(x) = x^3$.1. При $x \le 0$:Функция $f(x) = (\frac{3}{4})^x$ положительна. При $x=0$, $f(0)=1$. При $x<0$, $f(x)>1$.Функция $g(x)=x^3$ неположительна. При $x=0$, $g(0)=0$. При $x<0$, $g(x)<0$.Следовательно, при $x \le 0$ равенство $f(x)=g(x)$ невозможно, точек пересечения нет.2. При $x > 0$:- $f(x) = (\frac{3}{4})^x$ является строго убывающей функцией (от $1$ до $0$).- $g(x)=x^3$ является строго возрастающей функцией (от $0$ до $+\infty$).Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересечься не более одного раза.Проверим, есть ли пересечение.При $x \to 0^+$, $f(x) \to (\frac{3}{4})^0 = 1$, а $g(x) \to 0^3=0$. Значит, $f(x)>g(x)$.При $x=1$, $f(1)=\frac{3}{4}$, а $g(1)=1^3=1$. Значит, $f(x)

12.10. Используя простейшие преобразования к графику функции $y = a^x$, постройте график функции $y = g(x)$:

1) $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 2$;

2) $g(x) = 4^x + 3$;

3) $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$;

4) $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4$.

1) Для построения графика функции $g(x) = (\frac{1}{2})^x - 2$ воспользуемся преобразованиями графика базовой функции $y = a^x$.

В данном случае базовая функция — это $y = (\frac{1}{2})^x$. Так как основание степени $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $0 < a < 1$, то эта функция является убывающей. Ее график проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось абсцисс).

Чтобы получить график функции $g(x) = (\frac{1}{2})^x - 2$, нужно выполнить преобразование вида $f(x) \rightarrow f(x) - c$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика исходной функции $y = (\frac{1}{2})^x$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат (оси Oy).

Таким образом, каждая точка графика $y = (\frac{1}{2})^x$ смещается на 2 единицы вниз. Например, точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0, -1)$, а точка $(-1, 2)$ — в точку $(-1, 0)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ также смещается вниз на 2 единицы и становится прямой $y=-2$.

Ответ: График функции $g(x) = (\frac{1}{2})^x - 2$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = (\frac{1}{2})^x$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

2) Для построения графика функции $g(x) = 4^x + 3$ воспользуемся преобразованиями графика базовой функции $y = a^x$.

Базовой функцией является $y = 4^x$. Так как основание $a=4$ больше 1, функция является возрастающей. Её график проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$.

Чтобы получить график функции $g(x) = 4^x + 3$, необходимо выполнить преобразование вида $f(x) \rightarrow f(x) + c$. Это соответствует параллельному переносу графика исходной функции $y = 4^x$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

При этом сдвиге каждая точка графика $y = 4^x$ смещается на 3 единицы вверх. Точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0, 4)$, а точка $(1, 4)$ — в точку $(1, 7)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 3 единицы вверх и становится прямой $y=3$.

Ответ: График функции $g(x) = 4^x + 3$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = 4^x$ на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

3) Для построения графика функции $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$ воспользуемся последовательностью преобразований графика базовой функции $y = a^x$.

Базовая функция — это $y = (2,5)^x$. Так как основание $a=2,5$ больше 1, функция является возрастающей. Её график проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$.

Построение графика $g(x)$ выполняется в два шага:

1. Сначала выполним преобразование $f(x) \rightarrow f(x-c)$. В нашем случае это сдвиг графика $y = (2,5)^x$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox), чтобы получить график промежуточной функции $y_1 = (2,5)^{x-1}$. При этом точка $(0, 1)$ переместится в точку $(1, 1)$. Асимптота останется прежней: $y=0$.

2. Затем выполним преобразование $f(x) \rightarrow f(x) + c$. Сдвигаем график функции $y_1 = (2,5)^{x-1}$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy), чтобы получить искомый график $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$. Точка $(1, 1)$ переместится в точку $(1, 3)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ сместится на 2 единицы вверх и станет прямой $y=2$.

Ответ: График функции $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$ получается путем последовательного применения двух параллельных переносов к графику функции $y = (2,5)^x$: сдвиг на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и затем сдвиг на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

4) Для построения графика функции $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4$ воспользуемся последовательностью преобразований графика базовой функции $y = a^x$.

Базовая функция — это $y = (2,25)^x$. Так как основание $a=2,25$ больше 1, функция является возрастающей. Её график проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$.

Построение графика $g(x)$ выполняется в два шага:

1. Сначала выполним преобразование $f(x) \rightarrow f(x+c)$. В нашем случае это сдвиг графика $y = (2,25)^x$ на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс (оси Ox), чтобы получить график промежуточной функции $y_1 = (2,25)^{x+3}$. При этом точка $(0, 1)$ переместится в точку $(-3, 1)$. Асимптота останется прежней: $y=0$.

2. Затем выполним преобразование $f(x) \rightarrow f(x) - c$. Сдвигаем график функции $y_1 = (2,25)^{x+3}$ на 4 единицы вниз вдоль оси ординат (оси Oy), чтобы получить искомый график $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4$. Точка $(-3, 1)$ переместится в точку $(-3, -3)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ сместится на 4 единицы вниз и станет прямой $y=-4$.

Ответ: График функции $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4$ получается путем последовательного применения двух параллельных переносов к графику функции $y = (2,25)^x$: сдвиг на 3 единицы влево вдоль оси Ox и затем сдвиг на 4 единицы вниз вдоль оси Oy.

12.11. Найдите множество значений функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 4^x - 5,6$;

2) $f(x) = (0,35)^x + 3$;

3) $f(x) = (\frac{2}{5})^{x+1} - 1$;

4) $f(x) = 1 - 3^x$.

1) Чтобы найти множество значений функции $f(x) = 4^x - 5,6$, проанализируем её составляющие. Множество значений показательной функции $y = 4^x$ — это все положительные числа, то есть интервал $(0; +\infty)$. Это можно записать в виде неравенства: $4^x > 0$.

Функция $f(x)$ получается из $4^x$ вычитанием константы $5,6$. Вычтем $5,6$ из обеих частей неравенства:

$4^x - 5,6 > 0 - 5,6$

$f(x) > -5,6$

Следовательно, множество значений функции — это все числа, строго большие $-5,6$.

Ответ: $(-5,6; +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = (0,35)^x + 3$. Аналогично предыдущему пункту, сначала определим множество значений показательной части $(0,35)^x$. Так как основание $0,35$ положительно и не равно 1, значения этого выражения всегда строго больше нуля:

$(0,35)^x > 0$

Функция $f(x)$ получается прибавлением к $(0,35)^x$ числа 3. Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$(0,35)^x + 3 > 0 + 3$

$f(x) > 3$

Таким образом, множество значений функции — это все числа, строго большие 3.

Ответ: $(3; +\infty)$.

3) Рассмотрим функцию $f(x) = (\frac{2}{5})^{x+1} - 1$. Множество значений показательного выражения $y = a^z$ не зависит от вида показателя $z$, если он может принимать любые действительные значения. В данном случае показатель $z=x+1$ пробегает все действительные числа, когда $x$ пробегает все действительные числа. Основание $\frac{2}{5}$ положительно, поэтому:

$(\frac{2}{5})^{x+1} > 0$

Теперь вычтем 1 из обеих частей этого неравенства, чтобы получить $f(x)$:

$(\frac{2}{5})^{x+1} - 1 > 0 - 1$

$f(x) > -1$

Множество значений функции — это все числа, строго большие $-1$.

Ответ: $(-1; +\infty)$.

4) Рассмотрим функцию $f(x) = 1 - 3^x$. Начнём с показательной части $3^x$. Её множество значений — $(0; +\infty)$, то есть:

$3^x > 0$

В формуле функции стоит $-3^x$. Чтобы получить это выражение, умножим неравенство на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-3^x < 0$

Наконец, прибавим 1 к обеим частям, чтобы получить выражение для $f(x)$:

$1 - 3^x < 1 + 0$

$f(x) < 1$

Следовательно, множество значений функции — это все числа, строго меньшие 1.

Ответ: $(-\infty; 1)$.

12.12. Сравните:

1) $(\left(\sqrt{3}\right)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$ и $3^{1.5}$;

2) $\left(\frac{1}{6}\right)^{\sqrt{5}}$ и $6^{-2.25}$;

3) $(7 - 4\sqrt{3})^{-3.5}$ и $(7 - 4\sqrt{3})^{3.5}$;

4) $(5 + 2\sqrt{6})^{3.3}$ и $(5 + 2\sqrt{6})^{-3.1}$.

1) Сравним числа $(\sqrt{3}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$ и $3^{1,5}$.

Преобразуем первое выражение, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\sqrt{3}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{3}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{3}^2 = 3$.

Таким образом, задача сводится к сравнению чисел $3^1$ и $3^{1,5}$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей.

Поскольку показатели степеней соотносятся как $1 < 1,5$, то и значения степеней соотносятся так же: $3^1 < 3^{1,5}$.

Следовательно, $(\sqrt{3}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} < 3^{1,5}$.

Ответ: $(\sqrt{3}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} < 3^{1,5}$.

2) Сравним числа $(\frac{1}{6})^{\sqrt{5}}$ и $6^{-2,25}$.

Приведем оба выражения к одному основанию 6.

Первое выражение: $(\frac{1}{6})^{\sqrt{5}} = (6^{-1})^{\sqrt{5}} = 6^{-\sqrt{5}}$.

Теперь сравним выражения $6^{-\sqrt{5}}$ и $6^{-2,25}$.

Так как основание $6 > 1$, функция $y=6^x$ возрастающая. Сравнение степеней сводится к сравнению их показателей: $-\sqrt{5}$ и $-2,25$.

Для этого сравним положительные числа $\sqrt{5}$ и $2,25$. Возведем их в квадрат:

$(\sqrt{5})^2 = 5$.

$2,25^2 = (\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{16} = 5,0625$.

Так как $5 < 5,0625$, то $\sqrt{5} < 2,25$.

При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный: $-\sqrt{5} > -2,25$.

Поскольку функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение степени: $6^{-\sqrt{5}} > 6^{-2,25}$.

Ответ: $(\frac{1}{6})^{\sqrt{5}} > 6^{-2,25}$.

3) Сравним числа $(7 - 4\sqrt{3})^{-3,5}$ и $(7 - 4\sqrt{3})^{3,5}$.

Оценим основание степени $a = 7 - 4\sqrt{3}$.

Сравним $7$ и $4\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $7^2=49$, а $(4\sqrt{3})^2=16 \cdot 3 = 48$. Так как $49 > 48$, то $7 > 4\sqrt{3}$, следовательно, $a = 7 - 4\sqrt{3} > 0$.

Теперь сравним $a$ с 1. Сравним $7 - 4\sqrt{3}$ и $1$, что эквивалентно сравнению $6$ и $4\sqrt{3}$, или $3$ и $2\sqrt{3}$. Возведем в квадрат: $3^2=9$, а $(2\sqrt{3})^2=4 \cdot 3=12$. Так как $9 < 12$, то $3 < 2\sqrt{3}$, значит $6 < 4\sqrt{3}$ и $7 - 1 < 4\sqrt{3}$, откуда $7 - 4\sqrt{3} < 1$.

Итак, основание $0 < a < 1$.

Показательная функция $y=a^x$ с основанием $0 < a < 1$ является убывающей.

Сравним показатели степеней: $-3,5$ и $3,5$. Очевидно, что $-3,5 < 3,5$.

Так как функция убывающая, меньшему значению показателя соответствует большее значение функции. Следовательно, $(7 - 4\sqrt{3})^{-3,5} > (7 - 4\sqrt{3})^{3,5}$.

Ответ: $(7 - 4\sqrt{3})^{-3,5} > (7 - 4\sqrt{3})^{3,5}$.

4) Сравним числа $(5 + 2\sqrt{6})^{3,3}$ и $(5 + 2\sqrt{6})^{-3,1}$.

Основание степени $a = 5 + 2\sqrt{6}$. Так как $5 > 0$ и $2\sqrt{6} > 0$, то $a = 5 + 2\sqrt{6} > 5$, и, следовательно, $a > 1$.

Показательная функция $y=a^x$ с основанием $a > 1$ является возрастающей.

Сравним показатели степеней: $3,3$ и $-3,1$.

$3,3 > -3,1$.

Так как функция возрастающая, большему значению показателя соответствует большее значение функции. Следовательно, $(5 + 2\sqrt{6})^{3,3} > (5 + 2\sqrt{6})^{-3,1}$.

Ответ: $(5 + 2\sqrt{6})^{3,3} > (5 + 2\sqrt{6})^{-3,1}$.

12.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = g(x)$:

1) $g(x) = 3^{\cos x}$;

2) $g(x) = 2^{\sin x}$;

3) $g(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^{2\sin x}$;

4) $g(x) = 4 - 16^{\frac{1}{\cos x}}$.

1)Для функции $g(x) = 3^{\cos x}$ нужно найти наибольшее и наименьшее значения.Область значений функции косинус: $-1 \le \cos x \le 1$.Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.Наименьшее значение функция $g(x)$ принимает при наименьшем значении показателя, то есть при $\cos x = -1$.$g_{min} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.Наибольшее значение функция $g(x)$ принимает при наибольшем значении показателя, то есть при $\cos x = 1$.$g_{max} = 3^{1} = 3$.

Ответ: Наименьшее значение равно $\frac{1}{3}$, наибольшее значение равно $3$.

2)Для функции $g(x) = 2^{\sin x}$ нужно найти наибольшее и наименьшее значения.Область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$.Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей.Наименьшее значение функция $g(x)$ принимает при наименьшем значении показателя, то есть при $\sin x = -1$.$g_{min} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.Наибольшее значение функция $g(x)$ принимает при наибольшем значении показателя, то есть при $\sin x = 1$.$g_{max} = 2^{1} = 2$.

Ответ: Наименьшее значение равно $\frac{1}{2}$, наибольшее значение равно $2$.

3)Для функции $g(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^{2\sin x}$ нужно найти наибольшее и наименьшее значения.Сначала найдем область значений показателя степени $2\sin x$. Мы знаем, что $-1 \le \sin x \le 1$. Умножив на 2, получаем $-2 \le 2\sin x \le 2$.Поскольку основание степени $0 < \frac{1}{8} < 1$, показательная функция $y=\left(\frac{1}{8}\right)^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.Следовательно, наименьшее значение функция $g(x)$ принимает при наибольшем значении показателя, то есть при $2\sin x = 2$.$g_{min} = \left(\frac{1}{8}\right)^{2} = \frac{1}{64}$.Наибольшее значение функция $g(x)$ принимает при наименьшем значении показателя, то есть при $2\sin x = -2$.$g_{max} = \left(\frac{1}{8}\right)^{-2} = 8^2 = 64$.

Ответ: Наименьшее значение равно $\frac{1}{64}$, наибольшее значение равно $64$.

4)Для функции $g(x) = 4 - 16^{\frac{1}{2}\cos x}$ нужно найти наибольшее и наименьшее значения.Сначала упростим выражение: $16^{\frac{1}{2}\cos x} = (4^2)^{\frac{1}{2}\cos x} = 4^{2 \cdot \frac{1}{2}\cos x} = 4^{\cos x}$.Таким образом, функция принимает вид $g(x) = 4 - 4^{\cos x}$.Найдем область значений выражения $4^{\cos x}$. Область значений косинуса: $-1 \le \cos x \le 1$.Поскольку основание $4 > 1$, функция $y=4^t$ возрастающая.Наименьшее значение $4^{\cos x}$ достигается при $\cos x = -1$ и равно $4^{-1} = \frac{1}{4}$.Наибольшее значение $4^{\cos x}$ достигается при $\cos x = 1$ и равно $4^1 = 4$.Итак, $\frac{1}{4} \le 4^{\cos x} \le 4$.Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции $g(x) = 4 - 4^{\cos x}$.Наибольшее значение $g(x)$ достигается, когда вычитаемое $4^{\cos x}$ минимально:$g_{max} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}$.Наименьшее значение $g(x)$ достигается, когда вычитаемое $4^{\cos x}$ максимально:$g_{min} = 4 - 4 = 0$.

Ответ: Наименьшее значение равно $0$, наибольшее значение равно $\frac{15}{4}$.

12.14. Найдите значение выражения:

1) $(b^2 \sqrt{b})^{1/5} \cdot (b^3 \sqrt{b})^{1/7}$, если $b = 5;$

2) $(b^3 \sqrt{b})^{4/7} \cdot (b^5 \sqrt[3]{b})^{9/16}$, если $b = 3;$

3) $(b^3 \sqrt[3]{b})^{3/5} \cdot (b^2 \sqrt[4]{b})^{8/9}$, если $b = 2;$

4) $(b \sqrt[4]{b})^{8/5} \cdot (b^2 \sqrt[5]{b})^{5/11}$, если $b = 4.$

1)Для начала упростим выражение. Используем свойство корня $ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $, чтобы представить корни в виде степеней: $ \sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}} $.

Теперь упростим выражения в скобках, используя свойство $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ b^2 \sqrt{b} = b^2 \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{2 + \frac{1}{2}} = b^{\frac{5}{2}} $

$ b^3 \sqrt{b} = b^3 \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{3 + \frac{1}{2}} = b^{\frac{7}{2}} $

Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$ (b^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{5}} \cdot (b^{\frac{7}{2}})^{\frac{1}{7}} $

Используем свойство возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $:

$ b^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}} \cdot b^{\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{7}} = b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} $

Снова используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием:

$ b^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = b^1 = b $

Подставим значение $ b = 5 $:

Выражение равно 5.

Ответ: 5

2)Упростим выражение, представив корни в виде степеней: $ \sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}} $ и $ \sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}} $.

Упростим выражения в скобках:

$ b^3 \sqrt{b} = b^3 \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{3 + \frac{1}{2}} = b^{\frac{7}{2}} $

$ b^5 \sqrt[3]{b} = b^5 \cdot b^{\frac{1}{3}} = b^{5 + \frac{1}{3}} = b^{\frac{16}{3}} $

Подставим в исходное выражение:

$ (b^{\frac{7}{2}})^{\frac{4}{7}} \cdot (b^{\frac{16}{3}})^{\frac{9}{16}} $

Применим свойство возведения степени в степень:

$ b^{\frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7}} \cdot b^{\frac{16}{3} \cdot \frac{9}{16}} = b^2 \cdot b^3 $

Умножим степени:

$ b^{2+3} = b^5 $

Подставим значение $ b = 3 $:

$ 3^5 = 243 $

Ответ: 243

3)Представим корни в виде степеней: $ \sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}} $ и $ \sqrt[4]{b} = b^{\frac{1}{4}} $.

Упростим выражения в скобках:

$ b^3 \sqrt[3]{b} = b^3 \cdot b^{\frac{1}{3}} = b^{3 + \frac{1}{3}} = b^{\frac{10}{3}} $

$ b^2 \sqrt[4]{b} = b^2 \cdot b^{\frac{1}{4}} = b^{2 + \frac{1}{4}} = b^{\frac{9}{4}} $

Подставим в исходное выражение:

$ (b^{\frac{10}{3}})^{\frac{3}{5}} \cdot (b^{\frac{9}{4}})^{\frac{8}{9}} $

Применим свойство возведения степени в степень:

$ b^{\frac{10}{3} \cdot \frac{3}{5}} \cdot b^{\frac{9}{4} \cdot \frac{8}{9}} = b^2 \cdot b^2 $

Умножим степени:

$ b^{2+2} = b^4 $

Подставим значение $ b = 2 $:

$ 2^4 = 16 $

Ответ: 16

4)Представим корни в виде степеней: $ \sqrt[4]{b} = b^{\frac{1}{4}} $ и $ \sqrt[5]{b} = b^{\frac{1}{5}} $.

Упростим выражения в скобках:

$ b \sqrt[4]{b} = b^1 \cdot b^{\frac{1}{4}} = b^{1 + \frac{1}{4}} = b^{\frac{5}{4}} $

$ b^2 \sqrt[5]{b} = b^2 \cdot b^{\frac{1}{5}} = b^{2 + \frac{1}{5}} = b^{\frac{11}{5}} $

Подставим в исходное выражение:

$ (b^{\frac{5}{4}})^{\frac{8}{5}} \cdot (b^{\frac{11}{5}})^{\frac{5}{11}} $

Применим свойство возведения степени в степень:

$ b^{\frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5}} \cdot b^{\frac{11}{5} \cdot \frac{5}{11}} = b^2 \cdot b^1 $

Умножим степени:

$ b^{2+1} = b^3 $

Подставим значение $ b = 4 $:

$ 4^3 = 64 $

Ответ: 64